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2026-04-07T01:53:21Z
用户贡献
MediaWiki 1.45.1
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生理学计算汇总
2026-03-21T09:23:16Z
<p>Raspierry：/* 约定 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头 <math>\vec{A}</math>，单位向量加帽 <math>\hat{A}</math>。<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<br />
一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <chem>Ca^{2+}</chem> 溶液，<chem>Ca^{2+}</chem> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <chem>CaCl2</chem> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <chem>Ca^{2+}</chem> 的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L<br />
<br />
'''分析''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=== 植物水分运输：效率与安全性的权衡 ===<br />
<br />
在植物生理学中，导管（Vessel）或管胞（Tracheid）的尺寸设计是植物适应环境的策略之一。这本质上是在'''输导效率'''与'''安全性'''之间寻找平衡。<br />
<br />
植物通过木质部导管运输水分的效率主要受'''哈根-泊肃叶定律'''支配。对于半径为 <math>R</math> 的圆柱管道，其流体流量 <math>Q</math> 有 <math>Q \propto R^4</math>。这意味着导管半径仅需微小的增加，就能显著降低水流阻力，从而支持植物进行高效的光合作用和快速生长。因此，从效率角度来看，植物应当倾向于使用“少而粗”的导管。<br />
<br />
然而，高效的代价是脆弱性。植物体内的水分在'''极大的负压'''下运输，当环境干旱或极端寒冷时，这种张力会急剧增大，容易诱发'''空化现象'''（Cavitation），即导管内形成气泡。在相同总横截面积的前提下，如果植物使用粗导管，一旦发生空化产生气泡，单根导管容易发生'''栓塞'''（Embolism）而失效，所导致的输水能力损失是巨大的。相反，细导管不但凭借更小的 <math>R</math> '''限制气泡半径'''，迫使气泡因较大的表面张力塌陷；而且由于导管数量多，即使少数导管发生栓塞，整体输水系统的冗余度依然很高，不会导致植株死亡。<br />
<br />
中生植物倾向于采取效率优先策略，通过 <math>R</math> 较大的导管显著提升水分流量以支持快速生长；而旱生植物则采取安全性优先策略，利用大量 <math>R</math> 较小的导管，增强抗空化能力，并在部分导管发生栓塞时减轻影响。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math><br />
<br />
= 结语 =<br />
<br />
万物生息，皆有定数。在符号与数字的秩序之中，生命并未失去温度。物理模型使耦合至深的生理学现象逐渐清晰，也让我们得以用理性触摸生命的深意。愿这些推演与汇总，不止于解题之用，更成为理解生命科学之美的一篇注解。<br />
<br />
''符号推演，见生息流转；字里行间，悟天理恒常。''</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14107
讨论:生理学计算汇总
2026-03-21T09:14:25Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>有个小问题，怎么插入公式啥的<br />
<br />
好像没法插入公式，可以手写或者公式编辑器写好后以图片形式放上来，不嫌麻烦的话也可以用代码块搓（可能比较丑但能用）<br />
<br />
希望有既能力有有空闲时间的大神多加补充；讨论页面都用 <code><nowiki>--~~~~</nowiki></code> 自动署名。说来也可笑，此页面自创建近一年以来最大的贡献者居然是我。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:19 (CST)<br />
<br />
我认为最好在全部编辑完成后拆分这个页面，各自成篇。然后本页面可以作为导航页使用。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:25 (CST) <br />
<br />
这个页面有点意思，希望能做下去--[[用户:Astelle|Astelle]]（[[用户讨论:Astelle|留言]]） 2026年3月19日 (四) 10:46 (CST)</div>
Raspierry
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讨论:生理学计算汇总
2026-03-21T09:13:43Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>有个小问题，怎么插入公式啥的<br />
<br />
好像没法插入公式，可以手写或者公式编辑器写好后以图片形式放上来，不嫌麻烦的话也可以用代码块搓（可能比较丑但能用）<br />
<br />
希望有既能力有有空闲时间的大神多加补充；讨论页面都用 <code><nowiki>~~~~</nowiki></code> 自动署名。说来也可笑，此页面自创建近一年以来最大的贡献者居然是我。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:19 (CST)<br />
<br />
我认为最好在全部编辑完成后拆分这个页面，各自成篇。然后本页面可以作为导航页使用。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:25 (CST) <br />
<br />
这个页面有点意思，希望能做下去[[用户:Astelle|Astelle]]（[[用户讨论:Astelle|留言]]） 2026年3月19日 (四) 10:46 (CST)</div>
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生理学计算汇总
2026-03-21T09:12:54Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<br />
一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <chem>Ca^{2+}</chem> 溶液，<chem>Ca^{2+}</chem> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <chem>CaCl2</chem> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <chem>Ca^{2+}</chem> 的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L<br />
<br />
'''分析''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=== 植物水分运输：效率与安全性的权衡 ===<br />
<br />
在植物生理学中，导管（Vessel）或管胞（Tracheid）的尺寸设计是植物适应环境的策略之一。这本质上是在'''输导效率'''与'''安全性'''之间寻找平衡。<br />
<br />
植物通过木质部导管运输水分的效率主要受'''哈根-泊肃叶定律'''支配。对于半径为 <math>R</math> 的圆柱管道，其流体流量 <math>Q</math> 有 <math>Q \propto R^4</math>。这意味着导管半径仅需微小的增加，就能显著降低水流阻力，从而支持植物进行高效的光合作用和快速生长。因此，从效率角度来看，植物应当倾向于使用“少而粗”的导管。<br />
<br />
然而，高效的代价是脆弱性。植物体内的水分在'''极大的负压'''下运输，当环境干旱或极端寒冷时，这种张力会急剧增大，容易诱发'''空化现象'''（Cavitation），即导管内形成气泡。在相同总横截面积的前提下，如果植物使用粗导管，一旦发生空化产生气泡，单根导管容易发生'''栓塞'''（Embolism）而失效，所导致的输水能力损失是巨大的。相反，细导管不但凭借更小的 <math>R</math> '''限制气泡半径'''，迫使气泡因较大的表面张力塌陷；而且由于导管数量多，即使少数导管发生栓塞，整体输水系统的冗余度依然很高，不会导致植株死亡。<br />
<br />
中生植物倾向于采取效率优先策略，通过 <math>R</math> 较大的导管显著提升水分流量以支持快速生长；而旱生植物则采取安全性优先策略，利用大量 <math>R</math> 较小的导管，增强抗空化能力，并在部分导管发生栓塞时减轻影响。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math><br />
<br />
= 结语 =<br />
<br />
万物生息，皆有定数。在符号与数字的秩序之中，生命并未失去温度。物理模型使耦合至深的生理学现象逐渐清晰，也让我们得以用理性触摸生命的深意。愿这些推演与汇总，不止于解题之用，更成为理解生命科学之美的一篇注解。<br />
<br />
''符号推演，见生息流转；字里行间，悟天理恒常。''</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14104
生理学计算汇总
2026-03-21T08:57:41Z
<p>Raspierry：/* 万金油型 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<br />
一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <chem>Ca^{2+}</chem> 溶液，<chem>Ca^{2+}</chem> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <chem>CaCl2</chem> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <chem>Ca^{2+}</chem> 的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L<br />
<br />
'''分析''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=== 植物水分运输：效率与安全性的权衡 ===<br />
<br />
在植物生理学中，导管（Vessel）或管胞（Tracheid）的尺寸设计是植物适应环境的策略之一。这本质上是在'''输导效率'''与'''安全性'''之间寻找平衡。<br />
<br />
植物通过木质部导管运输水分的效率主要受'''哈根-泊肃叶定律'''支配。对于半径为 <math>R</math> 的圆柱管道，其流体流量 <math>Q</math> 有 <math>Q \propto R^4</math>。这意味着导管半径仅需微小的增加，就能显著降低水流阻力，从而支持植物进行高效的光合作用和快速生长。因此，从效率角度来看，植物应当倾向于使用“少而粗”的导管。<br />
<br />
然而，高效的代价是脆弱性。植物体内的水分在'''极大的负压'''下运输，当环境干旱或极端寒冷时，这种张力会急剧增大，容易诱发'''空化现象'''（Cavitation），即导管内形成气泡。在相同总横截面积的前提下，如果植物使用粗导管，一旦发生空化产生气泡，单根导管容易发生'''栓塞'''（Embolism）而失效，所导致的输水能力损失是巨大的。相反，细导管不但凭借更小的 <math>R</math> '''限制气泡半径'''，迫使气泡因较大的表面张力塌陷；而且由于导管数量多，即使少数导管发生栓塞，整体输水系统的冗余度依然很高，不会导致植株死亡。<br />
<br />
中生植物倾向于采取效率优先策略，通过 <math>R</math> 较大的导管显著提升水分流量以支持快速生长；而旱生植物则采取安全性优先策略，利用大量 <math>R</math> 较小的导管，增强抗空化能力，并在部分导管发生栓塞时减轻影响。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math></div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14103
生理学计算汇总
2026-03-21T08:56:48Z
<p>Raspierry：/* 植物水分运输：效率与安全性的权衡 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<br />
一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <chem>Ca^{2+}</chem> 溶液，<chem>Ca^{2+}</chem> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <chem>CaCl2</chem> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <chem>Ca^{2+}</chem> 的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L<br />
<br />
'''分析''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=== 植物水分运输：效率与安全性的权衡 ===<br />
<br />
在植物生理学中，导管（Vessel）或管胞（Tracheid）的尺寸设计是植物适应环境的策略之一。这本质上是在'''输导效率'''与'''安全性'''之间寻找平衡。<br />
<br />
植物通过木质部导管运输水分的效率主要受'''哈根-泊肃叶定律'''支配。对于半径为 <math>R</math> 的圆柱管道，其流体流量 <math>Q</math> 有 <math>Q \propto R^4</math>。这意味着导管半径仅需微小的增加，就能显著降低水流阻力，从而支持植物进行高效的光合作用和快速生长。因此，从效率角度来看，植物应当倾向于使用“少而粗”的导管。<br />
<br />
然而，高效的代价是脆弱性。植物体内的水分在'''极大的负压'''下运输，当环境干旱或极端寒冷时，这种张力会急剧增大，容易诱发'''空化现象'''（Cavitation），即导管内形成气泡。在相同总横截面积的前提下，如果植物使用粗导管，一旦发生空化产生气泡，单根导管容易发生'''栓塞'''（Embolism）而失效，所导致的输水能力损失是巨大的。相反，细导管不但凭借更小的 <math>R</math> '''限制气泡半径'''，迫使气泡因较大的表面张力塌陷；而且由于导管数量多，即使少数导管发生栓塞，整体输水系统的冗余度依然很高，不会导致植株死亡。<br />
<br />
中生植物倾向于采取效率优先策略，通过 <math>R</math> 较大的导管显著提升水分流量以支持快速生长；而旱生植物则采取安全性优先策略，利用大量 <math>R</math> 较小的导管，增强抗空化能力，并在部分导管发生栓塞时减轻影响。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14102
生理学计算汇总
2026-03-21T08:56:01Z
<p>Raspierry：/* 杨-拉普拉斯方程 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<br />
一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <chem>Ca^{2+}</chem> 溶液，<chem>Ca^{2+}</chem> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <chem>CaCl2</chem> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <chem>Ca^{2+}</chem> 的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L<br />
<br />
'''分析''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=== 植物水分运输：效率与安全性的权衡 ===<br />
<br />
在植物生理学中，导管（Vessel）或管胞（Tracheid）的尺寸设计是植物适应环境的策略之一。这本质上是在'''输导效率'''与'''安全性'''之间寻找平衡。<br />
<br />
植物通过木质部导管运输水分的效率主要受'''哈根-泊肃叶定律'''支配。对于半径为 <math>R</math> 的圆柱管道，其流体流量 <math>Q</math> 有 <math>Q \propto R^4</math>。这意味着导管半径仅需微小的增加，就能显著降低水流阻力，从而支持植物进行高效的光合作用和快速生长。因此，从效率角度来看，植物应当倾向于使用“少而粗”的导管。<br />
<br />
然而，高效的代价是脆弱性。植物体内的水分在'''极大的负压'''下运输，当环境干旱或极端寒冷时，这种张力会急剧增大，容易诱发'''空化现象'''（Cavitation），即导管内形成气泡。在相同总横截面积的前提下，如果植物使用粗导管，一旦发生空化产生气泡，单根导管容易发生'''栓塞'''（Embolism）而失效，所导致的输水能力损失是巨大的。相反，细导管不但凭借更小的 <math>R</math>'''限制气泡半径'''，迫使气泡因较大的表面张力塌陷；而且由于导管数量多，即使少数导管发生栓塞，整体输水系统的冗余度依然很高，不会导致植株死亡。<br />
<br />
中生植物倾向于采取效率优先策略，通过 <math>R</math> 较大的导管显著提升水分流量以支持快速生长；而旱生植物则采取安全性优先策略，利用大量 <math>R</math> 较小的导管，增强抗空化能力，并在部分导管发生栓塞时减轻影响。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14101
生理学计算汇总
2026-03-21T08:32:46Z
<p>Raspierry：/* 引入 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<br />
一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <chem>Ca^{2+}</chem> 溶液，<chem>Ca^{2+}</chem> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <chem>CaCl2</chem> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <chem>Ca^{2+}</chem> 的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L<br />
<br />
'''分析''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
==== 推导 ====<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14100
生理学计算汇总
2026-03-21T08:27:43Z
<p>Raspierry：/* 弹性阻力 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
==== 推导 ====<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}p}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14099
生理学计算汇总
2026-03-21T08:26:16Z
<p>Raspierry：/* 杨-拉普拉斯方程 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
==== 推导 ====<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math> 是界面面积，<math>\gamma</math> 是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元 <math>dA</math> 向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math> 应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math> 随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中 <math>H:\equiv {1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math> 是平均曲率。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math display="block">\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math display="block">A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math><br />
<br />
特别地，当此局部曲面的主曲率半径 <math>R_1=R_2</math>，即'''局部曲面是球面'''，此方程简化为：<br />
<br />
<math display="block">\Delta P=\frac{2\gamma}{R}</math><br />
* 其中 <math>R\equiv R_1\equiv R_2</math> 为适用条件<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14098
生理学计算汇总
2026-03-21T08:12:08Z
<p>Raspierry：/* 菲克第二定律：物质守恒 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
考虑物质的量'''浓度'''对时间的就地偏导 <math>{\partial C\over\partial t}</math>，则此控制体内'''物质的量变化率'''亦可表示为：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
并假设扩散系数 <math>D</math> 与位置 <math>(x,y,z)</math> 无关，得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math>是界面面积,<math>\gamma</math>是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元<math>dA</math>向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math>应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math>随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中H是平均曲率<math>{1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math>。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math>\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math>A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math>\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math>。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14097
生理学计算汇总
2026-03-21T08:07:21Z
<p>Raspierry：/* 菲克第一定律：扩散法则 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
* 必须区分标量与向量，向量除了梯度算子等少数之外都需要加箭头<math>\vec{A}</math>或加帽<math>\hat{A}</math>。<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
且函数 <math>U(x,y,z)</math> 在方向 <math>\vec l</math> 上的导数 <math>{\partial U\over\partial l}=\nabla\!U\cdot\hat{l}</math>，其中 <math>\hat l</math> 是 <math>\vec l</math> 方向的单位向量。<br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生理学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向，而像动物行为学当中的“动物顺浓度梯度寻找食物”才是顺浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\iint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\!V</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
如考虑在单位时间内物质的量改变一值<math>{\partial C\over\partial t}</math>，则垂直控制体内'''物质的量变化率：'''<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \iiint_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\!V \equiv - \iiint_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\!V</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
带入菲克第一定律:<br />
<br />
<math>\vec{J}=-D\nabla\!C</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D\nabla^2C</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式。<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
# 需要充分发展流,即<math>(v\cdot\nabla)v=0</math>。<br />
# 轴对称流动。（仅存在轴向速度 <math>v_z(r)</math>）<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
在圆管内，笛卡尔坐标系可变为柱坐标系。此时，在满足基本条件下（见'''哈根-泊肃叶定律'''）纳维-斯托克斯方程:<br />
<br />
<math>\rho({\partial \vec{v}\over\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=\mu\nabla^2\vec{v}-\nabla p+\vec{f}</math><br />
<br />
* <math>\rho</math> 是流体密度。<br />
* <math>\vec{v}</math> 是流体速度矢量。<br />
* <math>t</math> 是时间。<br />
* <math>p</math>是压力。<br />
* <math>\mu</math>是流体动力粘度。<br />
* <math>\vec{f}</math>是体积力。<br />
* <math>\nabla</math> 是梯度算子。<br />
* <math>\nabla^2</math>是拉普拉斯算子<br />
变为平衡方程：<br />
<br />
<math>-{\partial p\over\partial z}+\mu({\partial^2 v_z\over\partial r^2}+{1\over\!r}{\partial v_z\over\partial r})=0</math><br />
<br />
再次变形可得：<br />
<br />
<math>{1\over\!r}{\partial\over\partial r}(r{\partial v_z\over\partial r})={1\over\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
第一次积分：<br />
<br />
<math>r{\partial v_z\over\partial r}={1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1</math><br />
<br />
变形后再进行第二次积分:<br />
<br />
<math>v_z(r)=\int ({1\over\!2\mu}{\partial p\over\partial z}r+{C_1\over\!r})dr={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}r^2+C_1\ln r+C_2</math><br />
<br />
* 轴对称条件：在管道中心 (''r''=0) 处，速度梯度必须有限，因此 <math>C_1</math>必须为零（否则 ln''r'' 项在 ''r''=0 处发散）。<br />
* 无滑移边界条件：在管壁 (''r''=''R'') 处，流体速度为零，即 <math>v_z(r)=0</math>。此时：<br />
<math>C_2=-{1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}R^2</math><br />
<br />
得到速度剖面：<br />
<br />
<math>v_z(r)={1\over\!4\mu}{\partial p\over\partial z}(R^2-r^2)</math><br />
<br />
为了得到流量<math>Q</math>,将速度剖面在整个管道横截面<math>A</math>上积分:<br />
<br />
<math>Q= \int\limits_Av_z(r)dA= \int\limits_{0}^Rv_z(r)(2\pi\!r)dr</math><br />
<br />
<math>dA</math>是剖面微元，<math>dr</math>是轴向微元。积得：<br />
<br />
<math>Q=-{\pi\!R^4 \over\!8\mu}{\partial p\over\partial z}</math><br />
<br />
如果管道两端的压力差为 <math>\Delta p=P_1-P_2</math>，管道长度为 ''L''，则 <math>{\partial p\over\partial z}\approx-{\Delta p\over\!L}</math>。此时代入Q得：<br />
<br />
<math>Q={\pi\!R^4\Delta p\over\!4\mu L}</math><br />
<br />
如果将流体粘度μ换成η，就是课本上的哈根-泊肃叶定律。<br />
<br />
=== 杨-拉普拉斯方程 ===<br />
1.'''系统能量'''：<br />
<br />
* 表面能： 弯曲界面的表面能 <math>E_s=\gamma A</math>，其中 <math>A</math>是界面面积,<math>\gamma</math>是表面张力。<br />
* 压力体积功： 当界面形状发生变化时，体积会发生变化，从而产生压力体积功。对于界面内部流体，其压力为 <math>P_\text{内部}</math>，外部压力为 <math>P_\text{外部}</math>。当界面上的面积微元<math>dA</math>向外微小移动 <math>dn</math> 时，体积变化 <math>dV=dAdn</math>，做的功为 <math>(P_\text{内部}-P_\text{外部})dV=\Delta PdAdn</math><br />
<br />
2.'''虚功原理'''：考虑界面发生一个虚位移 <math>\delta n</math>，即界面法向移动了无限小的距离。系统的总能量变化 <math>\delta E</math>应该为零，即<math>\delta E_s-\delta W=0</math>其中 <math>\delta W</math>是压力差产生的虚功。<br />
<br />
* 界面面积 <math>A</math>随法向位移 <math>\delta n</math> 的变化率为 <math>\delta A=AH\delta n</math>,其中H是平均曲率<math>{1\over\!R_1}+{1\over\!R_2}</math>。因此，表面能的变化为 <math>\delta E_s=\gamma\delta A=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n</math>。<br />
* 压力功变化： 压力差产生的虚功为 <math>\delta W=\Delta PA\delta n</math><br />
<br />
3.'''平衡情形：'''将上述变形带入总能量为零的情形下'''，''' 从而：<br />
<br />
<math>\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})A\delta n-\Delta PA\delta n=0</math><br />
<br />
因为：<br />
<br />
<math>A\delta n\neq0</math><br />
<br />
所以：<br />
<br />
<math>\Delta P=\gamma({1\over\!R_1}+{1\over\!R_2})</math>。<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:<br />
<br />
<math>I_X=G_X(E_m-E_X)</math><br />
<br />
稳态时，膜电位不变了，各离子虽然仍有可能流动，但总电流是为零的。于是:<br />
<br />
<math>\sum I_X=E_m\sum G_X-\sum G_XE_X</math><br />
<br />
从而：<br />
<br />
<math>E_m={\sum G_XE_X\over\sum G_X}</math><br />
<br />
特别地，一般我们只考虑钾、钠和氯三种离子通道，所以得到弦电导方程：<br />
<br />
<math>E_m={\sum_{Na,K,Cl} G_XE_X\over\sum_{Na,K,Cl} G_X}</math><br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==== '''<big>能斯特-普朗克方程：离子转运</big>''' ====<br />
能斯特-普朗克方程（Nernst-Planck equation）是描述带电粒子在电场和浓度梯度共同作用下输运的核心方程。它将离子的总通量分解为扩散、电迁移和对流三个基本分量。在生理学的多个领域都有作用。<br />
* 能斯特-普朗克方程是理解细胞膜上离子跨膜运动的基础。例如，神经元、心肌细胞等可兴奋细胞膜上钠离子（Na⁺）、钾离子（K⁺）、钙离子（Ca²⁺）和氯离子（Cl⁻）的跨膜流动，对于产生和传播电信号至关重要 。该方程可以定量描述这些离子在浓度梯度（扩散）、电场（电迁移）和对流驱动下的通量 。例如，在微流控通道中，非等温流体的能斯特-普朗克方程通过增加一个与温度和内部电势梯度相关的迁移项进行了修改，以解释热电化学迁移效应 。<br />
* 神经元的动作电位涉及离子通道的开放和关闭，导致离子通透性快速变化，进而引起膜电位的剧烈波动 。能斯特-普朗克方程及其衍生模型，如与泊松方程耦合的泊松-能斯特-普朗克（PNP）模型，被用于模拟离子在离子通道内的动态运输 。PNP模型在描述离子通道行为方面比GHK模型更精确，尤其是在通道半径小于两倍德拜长度的情况下，因为它考虑了离子在蛋白壁上诱导的表面电荷效应 。通过量化电化学驱动力，能斯特-普朗克方程有助于理解离子通道开放时离子流动的方向和强度，这对于神经信号传递至关重要 。例如，新的动作电位方程为神经电生理学提供了生物物理学见解，可以补充经典的GHK方程 。<br />
* 近年来，随着神经科学技术的发展，对神经元在完整回路中高时空分辨率记录的需求增加 。电缆-能斯特-普朗克模型被开发用于预测整个树突分支上具有微米特异性的突触活动 。此外，有研究表明，突触输入引起的离子浓度梯度可以增加树突棘中的电压去极化，即使是中等突触电流也能显著改变离子浓度，导致树突和棘头之间出现化学势梯度，产生可测量的电流 。分数阶能斯特-普朗克方程也被引入，用于模拟树突棘的异常次扩散，预测具有更大棘密度的树突上的突触后电位能更快到达胞体并保持在更高水平 。<br />
<br />
===== '''爱因斯坦关系''' =====<br />
<br />
# '''扩散通量''':根据菲克第一定律，由于浓度梯度引起的扩散通量<math>\vec{J}_{diff}</math>表示为： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla\!C</math>(详见'''菲克第一定律''')<br />
# '''电迁移通量''':带电离子在电场作用下会发生定向移动，产生电迁移通量<math>\vec{J}_{elec}</math>。离子的平均漂移速度<math>v_d</math>与其电迁移率<math>\mu</math>和电场强度成正比： <math>v_d=\mu\!E</math> 。电迁移通量是离子浓度<math>C</math>与漂移速度的乘积： <math>\vec{J}_{elec}=C\!v_d=C\mu\!E</math>。电场 <math><br />
E</math> 可以通过电势<math>\Phi</math>的梯度来表示：<math>E=-\nabla \Phi</math>。因此，电迁移通量可以写为： <math>\vec{J}_{elec}=-C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# '''热力学平衡''':在热力学平衡条件下,系统中的离子没有净通量，即扩散通量与电迁移通量相互抵消： <math>\vec{J}_{diff}=-D\nabla C=-(-C\mu\nabla\Phi)=-\vec{J}_{elec}</math>,化简得<math>-D\nabla C=C\mu\nabla \Phi</math>。<br />
# 在热力学平衡时，离子的电化学势<math>}\tilde{\mu</math>在整个体系中是均匀的，即<math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>。离子的电化学势可以表示为： <math>\tilde{\mu}=\mu_0+RT\ln C+zF\Phi</math> 。其中，<math>\mu_0</math>是标准化学势，''R'' 是理想气体常数，''T'' 是绝对温度，''z'' 是离子的化合价，''F'' 是法拉第常数。 对电化学势求梯度： <math>\nabla\tilde{\mu}=RT{\nabla C\over\!C}+zF\nabla \Phi</math>，由于在平衡时 <math>\nabla\tilde{\mu}=0</math>，则有： <math>\nabla C=-{\!c\!F\nabla\Phi\over\!RT}</math>。<br />
# 最后代入上述热力学平衡条件,即可导出爱因斯坦关系:<math>\mu={D\!z\!F\over\!RT}</math>。<br />
<br />
===== '''电化学建模''' =====<br />
<br />
# 扩散通量 (<math>\vec{J}_{i,diff}</math>) 扩散是由于离子浓度不均匀而引起的粒子从高浓度区域向低浓度区域的净移动。这部分通量由菲克第一定律描述：<math display="block">\vec{J} _{i,diff}= -D_i\nabla c_i \quad \text{（3维）}</math> 其中：<br />
#* <math>D_i</math> 是离子''i''的扩散系数（单位：m²/s）。<br />
#* <math>C_i</math> 是离子''i''的浓度（单位：mol/m³）。<br />
#* <math>\nabla C_i</math> 是离子''i''的浓度梯度。 负号表示通量方向与浓度梯度方向相反，即离子从浓度高的地方向浓度低的地方移动。<br />
# 电迁移通量（<math>\vec{J}_{i,elec}</math>）电迁移是由于离子带电并在电场作用下定向移动引起的通量。在电场 ''E''的作用下，带电粒子会受到电场力，并以一定的漂移速度移动。根据上文所述（详见'''爱因斯坦关系'''），<math>\vec{J}_{i,elec}=-{D_i\!z_i\!F\over\!RT}C_i\nabla\Phi</math>其中：<br />
#* ''F'' 是法拉第常数（单位：C/mol）。<br />
#* ''R'' 是理想气体常数（单位：J/(mol·K)）。<br />
#* ''T'' 是绝对温度（单位：K）<br />
# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。<br />
# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math><br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14024
生理学计算汇总
2026-03-18T14:01:30Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
<br />
===约定===<br />
* 必须严格区分全微分（正体 <math>\mathrm d</math>）和偏微分（ <math>\partial</math>）<br />
* 必须对首次出现的不常见符号、物理量的含义给出解释<br />
* 对于'''梯度'''，给出三维形式，除非是离子通道等一维背景下的推导<br />
* 必须紧密结合物理学、物理化学原理与生物学现象、应用<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生物学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\int_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\tau</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
而从浓度 <math>c</math> 对时间 <math>t</math> 的偏导出发，亦可得到控制体内部'''物质的量变化率'''：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \frac{d}{dt} \int_V C \, d\tau = \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau \equiv - \int_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\tau</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
<br />
再运用质量守恒律：<br />
<br />
● 流入速率：<math>\!J(x,t)\cdot\!A</math><br />
<br />
● 流出速率：<math>\!J(x+\Delta x,t)</math><br />
<br />
● 积累速率:微元内物质总量M对时间t的导数：<br />
<br />
积累速率=<math>{\partial M\over\partial t}=\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C(x,t)\over\partial t}</math><br />
<br />
将以上各式带入守恒方程：<br />
<br />
<math>\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C\over\partial t}=[\!J(x,t)\cdot\!A]-[\!J(x+\Delta x,t)\cdot\!A]</math><br />
<br />
化简得质量守恒条件下的连续性方程:<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=-{\partial J\over\partial x}</math><br />
<br />
带入非稳态条件下的菲克第一定律:<br />
<br />
<math>J=-D{\partial C\over\partial x}</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D{\partial^2 C\over\partial x^2}</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。<br />
哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14022
生理学计算汇总
2026-03-18T13:30:49Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
<blockquote><br />
===警告===<br />
请各位用户量力而行，以事实准确性为第一，尤其是物理与化学内容不容闪失。<br />
<br />
'''请勿编写自己一知半解的内容或使用AI生成！否则即为对osm.bio的污染。'''<br />
</blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此页面聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生物学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\int_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\tau</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
而从浓度 <math>c</math> 对时间 <math>t</math> 的偏导出发，亦可得到控制体内部'''物质的量变化率'''：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \frac{d}{dt} \int_V C \, d\tau = \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau \equiv - \int_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\tau</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
<br />
再运用质量守恒律：<br />
<br />
● 流入速率：<math>\!J(x,t)\cdot\!A</math><br />
<br />
● 流出速率：<math>\!J(x+\Delta x,t)</math><br />
<br />
● 积累速率:微元内物质总量M对时间t的导数：<br />
<br />
积累速率=<math>{\partial M\over\partial t}=\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C(x,t)\over\partial t}</math><br />
<br />
将以上各式带入守恒方程：<br />
<br />
<math>\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C\over\partial t}=[\!J(x,t)\cdot\!A]-[\!J(x+\Delta x,t)\cdot\!A]</math><br />
<br />
化简得质量守恒条件下的连续性方程:<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=-{\partial J\over\partial x}</math><br />
<br />
带入非稳态条件下的菲克第一定律:<br />
<br />
<math>J=-D{\partial C\over\partial x}</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D{\partial^2 C\over\partial x^2}</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。<br />
哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14021
生理学计算汇总
2026-03-18T13:24:31Z
<p>Raspierry：/* 菲克第一定律：扩散法则 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla c</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生物学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\int_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\tau</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
而从浓度 <math>c</math> 对时间 <math>t</math> 的偏导出发，亦可得到控制体内部'''物质的量变化率'''：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \frac{d}{dt} \int_V C \, d\tau = \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau \equiv - \int_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\tau</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
<br />
再运用质量守恒律：<br />
<br />
● 流入速率：<math>\!J(x,t)\cdot\!A</math><br />
<br />
● 流出速率：<math>\!J(x+\Delta x,t)</math><br />
<br />
● 积累速率:微元内物质总量M对时间t的导数：<br />
<br />
积累速率=<math>{\partial M\over\partial t}=\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C(x,t)\over\partial t}</math><br />
<br />
将以上各式带入守恒方程：<br />
<br />
<math>\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C\over\partial t}=[\!J(x,t)\cdot\!A]-[\!J(x+\Delta x,t)\cdot\!A]</math><br />
<br />
化简得质量守恒条件下的连续性方程:<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=-{\partial J\over\partial x}</math><br />
<br />
带入非稳态条件下的菲克第一定律:<br />
<br />
<math>J=-D{\partial C\over\partial x}</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D{\partial^2 C\over\partial x^2}</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。<br />
哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14020
生理学计算汇总
2026-03-18T13:23:52Z
<p>Raspierry：/* 菲克第一定律：扩散法则 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla c \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial c \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
* 其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>D</math> 为扩散常数（随溶剂和物质等不同而不同），<math>\nabla x</math> 为浓度梯度向量<br />
<br />
因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，'''生物学中所谓的“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向。'''<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\int_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\tau</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
而从浓度 <math>c</math> 对时间 <math>t</math> 的偏导出发，亦可得到控制体内部'''物质的量变化率'''：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \frac{d}{dt} \int_V C \, d\tau = \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau \equiv - \int_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\tau</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
<br />
再运用质量守恒律：<br />
<br />
● 流入速率：<math>\!J(x,t)\cdot\!A</math><br />
<br />
● 流出速率：<math>\!J(x+\Delta x,t)</math><br />
<br />
● 积累速率:微元内物质总量M对时间t的导数：<br />
<br />
积累速率=<math>{\partial M\over\partial t}=\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C(x,t)\over\partial t}</math><br />
<br />
将以上各式带入守恒方程：<br />
<br />
<math>\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C\over\partial t}=[\!J(x,t)\cdot\!A]-[\!J(x+\Delta x,t)\cdot\!A]</math><br />
<br />
化简得质量守恒条件下的连续性方程:<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=-{\partial J\over\partial x}</math><br />
<br />
带入非稳态条件下的菲克第一定律:<br />
<br />
<math>J=-D{\partial C\over\partial x}</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D{\partial^2 C\over\partial x^2}</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。<br />
哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14019
生理学计算汇总
2026-03-18T13:20:36Z
<p>Raspierry：/* 菲克第一定律：扩散法则 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}:\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla C \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial C \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
<br />
其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>\nabla x</math> 为浓度梯度向量。因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla :\equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向。<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\int_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\tau</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
而从浓度 <math>c</math> 对时间 <math>t</math> 的偏导出发，亦可得到控制体内部'''物质的量变化率'''：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \frac{d}{dt} \int_V C \, d\tau = \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau \equiv - \int_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\tau</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
<br />
再运用质量守恒律：<br />
<br />
● 流入速率：<math>\!J(x,t)\cdot\!A</math><br />
<br />
● 流出速率：<math>\!J(x+\Delta x,t)</math><br />
<br />
● 积累速率:微元内物质总量M对时间t的导数：<br />
<br />
积累速率=<math>{\partial M\over\partial t}=\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C(x,t)\over\partial t}</math><br />
<br />
将以上各式带入守恒方程：<br />
<br />
<math>\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C\over\partial t}=[\!J(x,t)\cdot\!A]-[\!J(x+\Delta x,t)\cdot\!A]</math><br />
<br />
化简得质量守恒条件下的连续性方程:<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=-{\partial J\over\partial x}</math><br />
<br />
带入非稳态条件下的菲克第一定律:<br />
<br />
<math>J=-D{\partial C\over\partial x}</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D{\partial^2 C\over\partial x^2}</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。<br />
哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=14018
生理学计算汇总
2026-03-18T13:18:43Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<blockquote>后人：目前实在是看不了，还是手动改了，后面插入公式再看怎么引入mhchem扩展包......<br />
<br />
二编：发现确实引入了mhchem扩展包，可以使用化学式输入数学公式，但是并不能使用数学公式输入化学式...<br />
<br />
eg.<chem>RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F</chem></blockquote><br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的Ca<sup>2+</sup>溶液，Ca<sup>2+</sup>浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L CaCl<sub>2</sub>溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中Ca<sup>2+</sup>的浓度为：<br><br />
<br />
A.0.15mol/L<br>B.0.06mol/L<br>C.0.024mol/L<br>D.0.176mol/L</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <chem display="inline">CaCl2</chem> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于<chem display="inline">Cl-</chem> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{{Cl^-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([{Cl^-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <chem display="inline">Cl-</chem> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <chem display="inline">Ca^2+</chem> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]}{[{Cl^-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[{Ca^{2+}}_\text{甲}]}{[{Ca^{2+}}_\text{乙}]}=\frac{[{Cl^-}_\text{甲}]^{-2}}{[{Cl^-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
在理想扩散条件下：<br />
<br />
<math display="block">\vec{J}\equiv \frac{\partial^2m}{\partial A \partial t} = -D\nabla C \quad \text{（3维）}</math><br />
<br />
<math display="block">J=-D{\partial C \over \partial x} \quad \text{（1维）}</math><br />
<br />
其中 <math>\vec J</math> 为'''扩散通量密度'''，<math>\nabla x</math> 为浓度梯度向量。因为梯度的定义是<br />
<br />
<math display="block">\nabla \equiv \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
因此梯度向量指向当地函数值增加最快的方向，“顺浓度梯度”实际上是逆着浓度梯度向量方向。<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
对于空间中任意一个固定的控制体，考虑由于扩散引起的质量变化。<br />
<br />
从扩散通量密度出发，控制体内部'''物质的量变化率'''是：<br />
<br />
<math display="block">\left. \frac{\partial n}{\partial t} \right|_{V_\text{控制体}}=-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA</math><br />
* 其中 <math>n</math> 是物质的量，<math>\hat{n}</math> 是垂直控制体表面 <math>S</math> 向外的单位法向量，<math>\mathrm dA</math> 是面积微元<br />
<br />
利用'''散度定理'''（高斯定理）：<br />
<br />
<math display="block">-\oint_{S} \vec{J} \cdot \hat{n} \mathrm \,\mathrm dA = -\int_V \nabla \cdot \vec{J} \,\mathrm d\tau</math><br />
* 其中 <math>\mathrm d\tau</math> 是控制体 <math>V</math> 内部的体积微元<br />
<br />
而从浓度 <math>c</math> 对时间 <math>t</math> 的偏导出发，亦可得到控制体内部'''物质的量变化率'''：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \frac{d}{dt} \int_V C \, d\tau = \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau</math><br />
<br />
于是：<br />
<br />
<math display="block">\displaystyle \int_V \frac{\partial C}{\partial t} \, d\tau \equiv - \int_V \nabla \cdot \vec{J} \, d\tau</math><br />
<br />
因为控制体 <math>V</math> 是任意的，必须有：<br />
<br />
<math display="block">\frac{\partial C}{\partial t} \equiv -\nabla \cdot \vec{J}</math><br />
<br />
即为散度形式的'''连续性方程'''（物质的量守恒/质量守恒）<br />
<br />
<br />
再运用质量守恒律：<br />
<br />
● 流入速率：<math>\!J(x,t)\cdot\!A</math><br />
<br />
● 流出速率：<math>\!J(x+\Delta x,t)</math><br />
<br />
● 积累速率:微元内物质总量M对时间t的导数：<br />
<br />
积累速率=<math>{\partial M\over\partial t}=\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C(x,t)\over\partial t}</math><br />
<br />
将以上各式带入守恒方程：<br />
<br />
<math>\!A\cdot\Delta x\cdot{\partial \!C\over\partial t}=[\!J(x,t)\cdot\!A]-[\!J(x+\Delta x,t)\cdot\!A]</math><br />
<br />
化简得质量守恒条件下的连续性方程:<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=-{\partial J\over\partial x}</math><br />
<br />
带入非稳态条件下的菲克第一定律:<br />
<br />
<math>J=-D{\partial C\over\partial x}</math><br />
<br />
得：<br />
<br />
<math>{\partial C\over\partial t}=D{\partial^2 C\over\partial x^2}</math><br />
<br />
便是最常用的菲克第二定律表示形式<br />
<br />
=== 哈根-泊肃叶定律 ===<br />
哈根 - 泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille Law），简称泊肃叶定律，是流体力学中描述不可压缩牛顿流体在长直圆管中作稳态层流运动时，流量与压力差、几何尺寸及流体粘度之间关系的物理定律。<br />
哈根 - 泊肃叶定律并非适用于所有流体流动，必须严格满足以下条件：<br />
<br />
# 层流（Laminar Flow）：流体必须分层流动，无湍流混合。通常要求雷诺数（Reynolds number, ''Re'' ）小于临界值（对于圆管，通常 ''Re''<2000∼2300 ）。如果流速过快导致湍流，该定律失效（此时压力差与流量的平方成正比）。<br />
# 牛顿流体（Newtonian Fluid）：流体的粘度 ''η'' 必须是常数，不随剪切速率变化。水、空气、低分子量油类符合；血液（非牛顿流体，但在大血管中可近似）、油漆、聚合物熔体在严格意义上不完全符合。<br />
# 不可压缩流体：密度恒定。液体通常符合，气体在压差较小时可近似符合。<br />
# 稳态流动（Steady Flow）：流量不随时间变化。<br />
# 长直圆管：<br />
#* 截面必须是完美的圆形。<br />
#* 管子必须足够长，以忽略入口效应（Entrance effect，即流体刚进入管道时速度分布尚未形成抛物线的区域）。通常要求 ''L''≫''r'' 。<br />
# 无滑移边界条件：管壁处的流体速度为零<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<math>\tau=\eta{du \over dy}</math><br />
<br />
严格来说本定律是实验定律，无法使用理论方法推导。<br />
<br />
* ''τ'' (Tau)：剪切应力（Shear Stress）。<br />
** 定义：流体层之间单位面积上的内摩擦力。<br />
** 单位：帕斯卡 ( Pa 或 N/m2 )。<br />
* ''du/dy:''速度梯度（Velocity Gradient），也称为剪切速率（Shear Rate, <math>}\dot{\gamma</math>）。<br />
** 定义：流体速度 ''u'' 随垂直于流动方向的距离 ''y'' 的变化率。<br />
** 物理意义：描述流体层之间相对滑动的快慢程度。<br />
** 单位： s−1 (每秒)。<br />
* ''η'' (或 ''μ'' )：动力粘度（Dynamic Viscosity）。<br />
** 定义：比例常数，表征流体抵抗剪切变形的能力（即“粘稠度”）。<br />
** 单位： Pa⋅s (帕·秒) 或 N⋅s/m2 。常用单位还有泊 ( P ) 或厘泊 ( cP )，1 Pa⋅s=10 P=1000 cP 。<br />
** 关键特性：对于牛顿流体， ''η'' 是一个常数，只与流体种类和温度有关，不随剪切速率 ''du/dy'' 的变化而改变<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13882
讨论:生理学计算汇总
2026-03-13T03:25:57Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>有个小问题，怎么插入公式啥的<br />
<br />
好像没法插入公式，可以手写或者公式编辑器写好后以图片形式放上来，不嫌麻烦的话也可以用代码块搓（可能比较丑但能用）<br />
<br />
希望有既能力有有空闲时间的大神多加补充；讨论页面都用 <code><nowiki>~~~~</nowiki></code> 自动署名。说来也可笑，此页面自创建近一年以来最大的贡献者居然是我。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:19 (CST)<br />
<br />
我认为最好在全部编辑完成后拆分这个页面，各自成篇。然后本页面可以作为导航页使用。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:25 (CST)</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13879
讨论:生理学计算汇总
2026-03-13T03:19:52Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>有个小问题，怎么插入公式啥的<br />
<br />
好像没法插入公式，可以手写或者公式编辑器写好后以图片形式放上来，不嫌麻烦的话也可以用代码块搓（可能比较丑但能用）<br />
<br />
希望有既能力有有空闲时间的大神多加补充；讨论页面都用 <code><nowiki>~~~~</nowiki></code> 自动署名。说来也可笑，此页面自创建近一年以来最大的贡献者居然是我。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 11:19 (CST)</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13877
生理学计算汇总
2026-03-13T03:09:35Z
<p>Raspierry：/* 呼吸循环生理 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 溶液， <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 的浓度为<br><br />
A.0.15mol/L<br><br />
B.0.06mol/L<br><br />
C.0.024mol/L<br><br />
D.0.176mol/L<br />
</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}=\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]^{-2}}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[\ce{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[\ce{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
===哈根-泊肃叶定律===<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
===弹性阻力===<br />
<br />
====顺应性====<br />
<br />
顺应性是肺容积变化 <math>\mathrm dV</math> 与压强变化 <math>\mathrm dp</math> 的比值。<br />
<br />
<math display="block">C_\text{顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}</math><br />
<br />
====比顺应性====<br />
<br />
顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（'''功能余气量'''）<br />
<br />
<math display="block">C_\text{比顺应性}=\frac{\mathrm{d}V}{V_\text{功能余气}\ \mathrm{d}P}</math><br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=Bio_index&diff=13876
Bio index
2026-03-13T02:56:44Z
<p>Raspierry：/* 编辑意向的任务 */</p>
<hr />
<div><br />
距离2026年联赛还有{{Countdown|2026-5-10|text=-天}}<br />
<br />
== 问题页面 ==<br />
<br />
=== · '''[[提出你的问题]] ''' ===<br />
<br />
=== '''· [[幻想乡问题精选]] ''' ===<br />
<br />
=== '''• [[愿程二群Q&A整理]]''（未完成）''''' ===<br />
<br />
=== '''· 网站使用说明：[[Osm使用手册]]''（欢迎提问，随时可能补充）''''' ===<br />
==任务==<br />
<br />
=== 编辑意向的任务 ===<br />
<br />
* [[植物群落学四大学派]] （未完成）<br />
<br />
* [[S]]<br />
* [[无纸化学习]]（需要进行长期补充，希望看见的可以进来看看，补充）<br />
* [[植物命名法]]（未完成）<br />
* [[试剂的毒性]]（未完成）<br />
* [[距佬|花距的物种分布和结构来源]]（''未完成''）<br />
* [[生理学毒素和特异性阻断剂]]（''未完成''）<br />
* [[无脊椎动物比较]](''未完成'')<br />
* [[无脊椎动物系统比较]]''（未完成）''<br />
* [[心电图及各种疾病时的变型]]''（未完成）''<br />
* [[被子植物各科介绍]]''（未完成）''<br />
<br />
*[[两栖动物的皮肤及其衍生物]]''(未完成）''<br />
*[[2023诺贝尔生理学或医学奖简介]]''(未完成）''<br />
*[[生物信息数据库及工具简介整理]]''（未完成）''<br />
*[[报告基因整理]]''（未完成）''<br />
*[[糖酵解]]''（未完成）''<br />
*[[细胞死亡方式整理]]''（未完成）'' <br />
*[[重要的同源器官]]''（未完成）''<br />
*[[RNA的生物合成]] ''(未完成)''<br />
*[[金属酶]] ''（未完成）''<br />
*[[关于Histidine]] ''（未完成）''<br />
*[[组织学与胚胎学]]''（未完成）''<br />
*[[常见序列整理]]（未完成）<br />
* [[类人群星闪耀时——古人类们]]''（基本完成)''<br />
* [[核酸酶整理]]''（未完成）''<br />
* [[模式生物相关知识]]''（未完成）''<br />
* [[关于锥虫二三事]]''（未完成）''<br />
* [[前列腺素]]''（未完成）''<br />
* [[各种脂肪酸的俗称及对应命名总结]]''（未完成）''<br />
* [[常见受体阻断与激动剂]]''（未完成）''<br />
* [[昆虫口器类型总结]]''（接近完成）''<br />
*[[植物的同源器官及变态演化]]''（未完成）''<br />
*[[中文重名的生物学定义]]''(未完成）''<br />
*[[诸子百家-进化论的形成]]''（未完成）''<br />
*[[昆虫激素整理]]''（未完成）''<br />
*[[生态学小汇总（2）]]''（正在加班补充中）''<br />
*[[胎座表格|胎座表格''（未完成）'']]<br />
*[[生理学计算汇总]]''（现有问题：无法使用mhchem宏包）''<br />
*[[人名疾病整理]]''（待编辑，欢迎大家补充）''<br />
*[[果实]] （未完成）<br />
*[[古代的鸟儿们]]（未完成）<br />
<br />
==现有条目==<br />
<br />
*[[特殊:孤立页面|特殊:孤立页面（没有被双向链接的条目）]]<br />
<br />
=== 永远<s>填坑</s>更新的页面 ===<br />
<br />
* [[教材错误与矛盾]]''（未完成）''<br />
* [[动物中首次出现的结构]]''（未完成，希望大家共同来填～）''<br />
* [[绝对化表述：所有&一切&任何都]]''（未完成）''<br />
* [[常见动物生理学抑制剂整理]] ''(未完成)''<br />
* [[生物缩写]]''（未完成）''<br />
* [[文献阅读分享]]（''怎么没人编辑😢''）文献读的有A佬这么多的还是太少了。<br />
* [[查阅资料|查阅资料的网站]] （未完成）<br />
<br />
=== 外文教材翻译 ===<br />
* [[Integrated Principles of Zoology 译文版]]<br />
* [[Invertebrates Fourth Edition 译文版]]<br />
* [[Invertebrates（Brusca）Fourth Edition 重制版]]<br />
* [[Vertebrates:Comparative Anatomy,Function,Evolution]]<br />
* [[An Introduction to Behavioural Ecology]]<br />
* [[BERNE & LEVY 生理学 第八版]]<br />
* [[Guyton&Hall 生理学 第十四版]]<br />
* [[免疫系统工作原理 （第七版）]]<br />
* [[Molecular Biology of the Cell]]<br />
* [[Molecular Population Genetics]]<br />
* [[Plant systematics|Plant Systematics]]<br />
* [[Plant Physiology and Development, Seventh Edition (Lincoln Taiz）]]<br />
* [[Taiz的WEB TOPIC]]<br />
* [[Raven Biology of Plants, Eighth Edition]]<br />
* [[Anoxygenic Phototropic Bacteria]]<br />
* [[Animal eyes]]<br />
* [[Esau's Plant Anatomy]]<br />
* [[POPULATION GENETICS 第二版]]<br />
* [[蚯蚓的形态学|蚯蚓的形态学（《Biology and Ecology of Earthworms》）]]<br />
<br />
=== 生物学综合 ===<br />
<br />
==== 公告栏 ====<br />
*[[OSM生物刊]]<br />
<br />
==== 生物学基础 ====<br />
*[[生物之最]]<br />
<br />
*[[生物口诀学]]<br />
*[[常见数值]]<br />
*[[十分钟读完基础物理化学]]<br />
*[[模式生物的种名]]<br />
*[[Strange but True]]<br />
*[[中国外来入侵物种名单]]<br />
<br />
* [[生物网站]]<br />
* [[查阅资料|查阅资料的网站]]<br />
* [[生物学英文名词词根词缀整理]]<br />
<br />
==== 题目 ====<br />
*[[全国中学生生物学联赛试题|全国中学生生物学联赛试题及答案（2000-2025）]]<br />
*[[共同出题（旨在收集平时散出的题，你要是喜欢也可以泡在这里出题）]]<br />
<br />
==== 非正式生物竞赛内容 ====<br />
*[[生竞梗百科是什么梗|生竞梗百科]]<br />
*[[生竞巨佬闪耀时]]<br />
*[[笑话数则]]<br />
*[[西洋笑传之阉鸡、骟马、歌唱巨星]]<br />
*[[史记：贺建奎粉丝群]]<br />
*[[全F主义]]<br />
*[[【非正式】deepseek浅谈生竞判断题填涂策略期望得分]]<br />
*[[生竞·警示录]]<br />
*[[流星下的许愿墙]]<br />
*[[那些你最想做的事]]<br />
*[[联赛题预测]]<br />
*[[联赛分数与排名对应表]]<br />
*[[如何评判大改革后的第一次联考-论2025年联赛]]<br />
*[[生竞回忆墙]]<br />
*[[金厕纸杯试卷大赛]]<br />
*[[吐槽2025年联赛]]<br />
*[[无题]]<br />
*[[无纸化学习]]<br />
*[[一篇诡异的植物生理学小说]]<br />
*[[？？？]]<br />
<br />
==== New Ideas ====<br />
<br />
* [[混沌学摘录]]<br />
* [[瓜的小论]]<br />
* [[苟书纠错与存疑]]<br />
<br />
=== 第一部分：生物化学、分子生物学、细胞生物学、生物技术 ===<br />
<br />
==== 生物化学 ====<br />
*[[氨基酸性质整理]]<br />
*[[色氨酸代谢]]<br />
*[[磷酸戊糖途径和卡尔文循环之间的联系|磷酸戊糖途径和卡尔文循环的联系]]<br />
*[[生化代谢产能分析]]<br />
*[[生化过程抑制剂整理]]<br />
*[[脂质代谢]]<br />
*[[酶]]<br />
*[[酶动力学作图]]<br />
*[[颜色反应]]<br />
*[[C/D/E-DNA]]<br />
*[[TCA回补反应]]<br />
*[[生物化学中的"20"与"7"|生物化学中的"20"、"7"与“12”]]<br />
*[[Sanger测序]]<br />
*[[维生素与辅酶]]<br />
*[[血红蛋白与Hb相关疾病]]<br />
*[[元素追踪]]<br />
*[[兼职蛋白]]<br />
*[[从PPi学生化|从ppi学生化]]<br />
*[[泛素相关知识]]<br />
*[[糖]]<br />
*[[TCA的C去向]]<br />
*[[所以我们这么辛苦生产NTP是为什么]]<br />
*[[化学武器]]<br />
<br />
==== 分子生物学 ====<br />
*[[DNA聚合酶]]<br />
*[[调控RNA]]<br />
*[[DNA解链酶]]<br />
*[[RNA的生物合成]]<br />
*[[复制叉反转]]<br />
*[[拓扑异构酶]]<br />
*[[核酸酶整理]]<br />
*[[分子标记]]<br />
<br />
==== 细胞生物学 ====<br />
*[[癌]]<br />
*[[细胞染色带型整理]]<br />
*[[糖基化区分]]<br />
*[[细胞同步化方法]]<br />
*[[mTOR的性质]]<br />
*[[细胞因子和细胞因子受体|细胞因子]]<br />
*[[G蛋白偶联受体及其信号转导|信号转导I：G蛋白偶联受体]]<br />
*[[酶联受体及其信号转导|信号转导II：酶联受体]]<br />
*[[其他受体及其信号转导|信号转导III：其他受体]]（未完成）<br />
*[[内膜系统运输]]<br />
*[[细胞间连接]]<br />
*[[核受体]]<br />
*[[红细胞的膜骨架]]<br />
*[[溶酶体疾病和过氧化物酶体疾病]]<br />
*[[Hippo信号通路]]<br />
*[[14-3-3蛋白]]<br />
*[[各细胞组分标志酶]](未完成)<br />
*[[凋亡的特征和分子标记]]<br />
*[[减数分裂驱动]]<br />
*[[第四种细胞骨架]]<br />
*[[有关核孔运输的迷思]]<br />
*[[脂质的膜内/膜间转运]]<br />
*[[内质网的细胞生物学]]<br />
*[[关于各种通道/受体]]<br />
*[[阿尔兹海默症]]<br />
<br />
==== 生物技术 ====<br />
*[[各种工具酶]]<br />
*[[生物学实验技术手册v1.0]]<br />
*[[生化分子细胞技术列表]]<br />
*[[蛋白质含量测定]]<br />
*[[CRISPR-Cas系统及相关技术]]<br />
*[[离心相关总结]]<br />
*[[各种各样的制片]]<br />
*[[快速反应技术]]<br />
*[[western blot条带结果分析整理]]<br />
*[[电泳染色方法]]''（未完成）''<br />
*[[试剂的毒性]]<br />
*[[蛋白质结构测定]]<br />
*[[PCR]]<br />
<br />
=== 第二部分：植物学、植物生理学、微生物学 ===<br />
<br />
==== 植物学 ====<br />
*[[APG IV]]<br />
*[[植物命名法]]<br />
*[[被子植物各科介绍]]<br />
*[[藻类分类整理]]<br />
*[[藻类生活史总结]]<br />
*[[裸子植物]]<br />
*[[苔藓植物]]<br />
*[[花]]<br />
*[[维管植物的结构]]<br />
*[[蔬菜水果的食用部分总结]]<br />
*[[自交不亲和]]<br />
*[[无融合生殖]]<br />
*[[好玩但不考的植物学知识]]<br />
*[[柿树科]]<br />
*[[植物学表格知识]]<br />
*[[种子]]<br />
*[[果实]]<br />
*[[胎座表格]]<br />
*[[苔藓总结]]<br />
*[[距佬|花距的物种分布和结构来源]]<br />
*[[植物演化]]''（未完成）''<br />
*[[图注缩写对照]]<br />
*[[灵梦]]<br />
*[[被子植物分类学派]]<br />
<br />
==== 植物生理学 ====<br />
*[[植物生长物质整理]]<br />
*[[植物激素一表览]]<br />
*[[植物矿质元素整理]]<br />
*[[植物抗逆生理整理]]<br />
*[[植物的矿质生理学]]<br />
*[[植物的水生理学]]<br />
*[[植物细胞水势整理]]<br />
*[[植物常见氧化酶总结]]<br />
*[[环境因素对植物发育的影响]]<br />
*[[植物激素演化]]<br />
*[[红光受体]]<br />
*[[蓝光受体]]<br />
*[[C4途径]]<br />
*[[各种特殊的光合作用总结]]<br />
*[[叶黄素循环]]<br />
<br />
==== 微生物学 ====<br />
*[[常见抑制剂整理|常见抗生素抑制剂整理]]<br />
*[[与人有关的病毒]]<br />
*[[病毒分类整理]]<br />
*[[病毒的结构]]<br />
*[[低等真核生物]]<br />
*[[衣原体]]<br />
*[[细菌染色法]]<br />
*[[各种染料和染色的总结]]<br />
*[[培养基总结]]<br />
*[[转染菌种特性]]<br />
*[[细菌vs.古菌vs.真核]]<br />
*[[细菌常见贮藏物整理|细菌常见包含体整理]]<br />
*[[污水处理]]<br />
*[[细菌的营养类型]]<br />
*[[酵母的小菌落]]<br />
<br />
=== 第三部分：动物学、生理学、生态学、动物行为学 ===<br />
<br />
==== 动物学 ====<br />
*[[原生动物门]]''（已基本完成，欢迎大家来补充）''<br />
*''[[Nautilius——the legend of the living fossil]]''<br />
*[[寄生动物总结]]<br />
*[[总鳍鱼整理]]<br />
*[[论证于脊椎动物到底是怎么个进化路线]]<br />
*[[脊椎动物的中枢神经]]<br />
*[[动物学人名结构整理]]<br />
*[https://life.scnu.edu.cn/biology/jingpin/dwx/course_learn/chapter_20/chapter_2/learn/default.htm 动物地理区系划分]<br />
*[[肺鱼特征整理]]<br />
*[[辅助呼吸器官]]<br />
*[[鸟的趾整理]]<br />
*[[鸟类分目比较]]<br />
*[[无脊椎动物比较]]<br />
*[[脊椎动物的心脏]]<br />
*[[昆虫的外部解剖]]<br />
*[[昆虫的变态整理]]<br />
*[[昆虫特征分类]]<br />
*[[昆虫的标本制作]]''（基本完成）''<br />
*[[脊椎动物的皮肤]]<br />
*[[脊椎动物的骨骼系统]]<br />
*[[脊椎动物的循环系统]]<br />
*[[脊椎动物的呼吸系统]]<br />
*[[脊椎动物的中枢神经]]<br />
*[[丢失的五脏六腑]]<br />
*[[蛇|蛇的重要考点]]<br />
*[[脑神经整理|人脑神经整理]]<br />
*[[百背不记的始祖鸟]]<br />
*[[卵裂]]<br />
*[[昆虫的复眼]]<br />
*[[最非凡的心脏——潘氏孔相关释疑]]<br />
*[[羊膜卵/胚胎概述]]<br />
*[[脊椎动物的牙齿类型]]<br />
*[[脊比笔记：循环系统]]<br />
*[[动物的各种“式”]]''（望补充完善！）''<br />
<br />
==== 生理学 ====<br />
*[[器官的神经调控]]<br />
*[[内分泌整理]]<br />
*[[脊椎动物的泌尿和生殖系统]]<br />
*[[关于各种利尿剂的总结]]<br />
*[[止血和凝血]]<br />
*[[血型]]<br />
*[[先天免疫系统]]<br />
*[[哺乳动物的适应性免疫系统]]<br />
*[[神经递质|中枢神经递质]]<br />
*[[特殊呼吸型整理]]<br />
*[[心功能曲线-血管功能曲线]]<br />
*[[肾脏与酸碱平衡]]<br />
*[[载体蛋白和通道蛋白]]<br />
*[[BCR和TCR]]<br />
*[[“小体”s]]<br />
*[[抗抑郁药]]<br />
*[[致幻剂]]<br />
*[[阿片受体与中枢镇痛药]]<br />
*[[麻醉剂大汇总]]<br />
*[[前列腺素]]<br />
*[[昆虫激素整理]]<br />
*[[RyR-结构篇]]<br />
<br />
==== 生态学 ====<br />
*[[生态学人名规律整理]]<br />
*[[生物的地理分区]]<br />
*[[生物多样性]]<br />
*[[种群大小的测定]]<br />
*[[各种生态系统特征]]<br />
*[[Gloger 规则]]<br />
*[[隔离因素的分类]]<br />
*[[生态学小汇总（1）]]<br />
*[[植物群落学四大学派]]<br />
<br />
==== 动物行为学 ====<br />
*[[动物行为学术语]]<br />
*[[常用动物行为学实验方法]]<br />
*[[人名拟态的典例整理]]<br />
<br />
=== 第四部分：遗传学、演化生物学、生物信息学 ===<br />
<br />
==== 遗传学 ====<br />
*[[表观遗传疾病]]<br />
*[[染色体结构与结构变异]]<br />
*[[各种显性隐性常染性连锁遗传疾病总结|各种显性隐性常染性连锁遗传病总结]]<br />
*[[表观遗传学]]<br />
*[[数量性状的遗传效应]]（未完成）<br />
<br />
==== 演化生物学 ====<br />
*[[系统发育学]]''（基本完成）''<br />
*[[初级内共生新知]]<br />
*[[构建系统发生树常用方法]]<br />
*[[分类:生物|index]] [[进化生物学与古大陆变迁]]''（未完成）''<br />
*[[类人群星闪耀时——古人类们]]<br />
*[[显生宙演化]]<br />
<br />
==== 生物信息学 ====<br />
<br />
* [[比对算法]]<br />
* [[生物信息数据库及工具简介整理]]<br />
* [[基因组结构变异的检测方法]]<br />
<br />
=== 其他<small>（不在联赛大纲内的生物相关学科）</small> ===<br />
<br />
*[[生物统计漫谈]]</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13875
生理学计算汇总
2026-03-13T02:51:50Z
<p>Raspierry：/* 心脏 p-V 图 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 溶液， <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 的浓度为<br><br />
A.0.15mol/L<br><br />
B.0.06mol/L<br><br />
C.0.024mol/L<br><br />
D.0.176mol/L<br />
</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}=\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]^{-2}}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[\ce{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[\ce{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
===哈根-泊肃叶定律===<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图与搏出功===<br />
<br />
====理想条件搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
====误差分析====<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''外压总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是'''心脏壁'''受压强关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。<br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13871
生理学计算汇总
2026-03-13T02:16:04Z
<p>Raspierry：/* 搏出功 */</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 溶液， <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 的浓度为<br><br />
A.0.15mol/L<br><br />
B.0.06mol/L<br><br />
C.0.024mol/L<br><br />
D.0.176mol/L<br />
</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}=\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]^{-2}}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[\ce{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[\ce{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
===哈根-泊肃叶定律===<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图===<br />
<br />
====搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要。使用<br />
<math display="block">-\int_0^{t_\text{周期}} \iint_A p(\vec{s},t)v_{\perp}(\vec{s},t) \mathrm dA \ \mathrm dt</math><br />
其中：<br><br />
<math>p(\vec{s},t)</math> 是血液总压关于位置 <math>\vec{s}</math> 和时间 <math>t</math> 的函数<br><br />
<math>v_{\perp}</math>是血液垂直当地界面的速度分量，<math>v_{\perp}<0</math> 表示向血液侧运动<br />
<br />
即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。实验中通常测量心室出口的血液'''静压'''代表心室血液压强。我们可以进行有限的修正：<br />
<br />
对于不可压缩流体，流动中无外界非保守力做功情况，同一流线上有 <math>p+\rho \varphi(x,y,z)+\frac{1}{2}\rho v^2(x,y,z)=\text{Const.}</math>，而从心室壁到动脉基部的流线近似符合这一情况（此处仍然是忽略粘滞耗散和心室内壁动压，目的只是尽可能得到心室壁静压）<br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13866
生理学计算汇总
2026-03-13T01:45:24Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<br />
<br />
=综述=<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
=植物生理学=<br />
<br />
==离子跨膜==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 溶液， <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 的浓度为<br><br />
A.0.15mol/L<br><br />
B.0.06mol/L<br><br />
C.0.024mol/L<br><br />
D.0.176mol/L<br />
</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
=====化学势与杜南平衡=====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}=\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]^{-2}}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[\ce{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[\ce{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
==物质运输==<br />
<br />
===菲克扩散定律===<br />
<br />
====菲克第一定律：扩散法则====<br />
<br />
====菲克第二定律：物质守恒====<br />
<br />
===哈根-泊肃叶定律===<br />
<br />
====牛顿粘滞定律====<br />
<br />
====圆管模型====<br />
<br />
===杨-拉普拉斯方程===<br />
<br />
=动物生理学=<br />
<br />
==生物膜电生理==<br />
<br />
===能斯特方程：电化学势平衡===<br />
<br />
===弦电导方程：线性电阻模型===<br />
<br />
===GHK方程：扩散-电迁移的精确建模===<br />
<br />
==呼吸循环生理==<br />
<br />
===心脏 <math>p-V</math> 图===<br />
<br />
====搏出功====<br />
<br />
与理想气体 <math>p-V</math> 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即'''血液对外界做的负功'''。因此，对于环路积分：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{blood→out}} =\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
可得：<br />
<br />
<math display="block">W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p \,\mathrm{d}V</math><br />
<br />
必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 <math>p-V</math> 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。<br />
<br />
显然，我们利用 <math>-\oint p\mathrm d V</math> 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于'''准静态平衡'''的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 <math>p</math> 与腔体积 <math>V</math> 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度以及血液运动产生的动压。<br />
<br />
倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的'''总压''' <math>p(\vec{s})</math> ，准静态假设就毫无必要，<math>-\oint \iint_A p(\vec{s}) \mathrm dA \ \mathrm dl</math> <br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
<br />
请此段原作者及时补充内容或将其删除<br />
--[[用户:Raspierry|Raspierry]]（[[用户讨论:Raspierry|留言]]） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)<br />
<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13856
生理学计算汇总
2026-03-13T00:02:07Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<br />
<br />
==综述==<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
==植物生理学==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 溶液， <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 的浓度为<br><br />
A.0.15mol/L<br><br />
B.0.06mol/L<br><br />
C.0.024mol/L<br><br />
D.0.176mol/L<br />
</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
===== 化学势与杜南平衡 =====<br />
<br />
<blockquote>'''示例''' 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。<br />
<br />
现以 <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}=\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]^{-2}}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[\ce{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[\ce{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
<br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%87%E6%80%BB&diff=13850
生理学计算汇总
2026-03-12T14:03:08Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事<br />
<br />
（生理还是要用goldman）<br />
<br />
希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标<br />
<br />
==综述==<br />
<br />
植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式<br />
<br />
==植物生理学==<br />
<br />
===杜南平衡===<br />
<br />
====引入====<br />
<blockquote>一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 溶液， <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 的浓度为<br><br />
A.0.15mol/L<br><br />
B.0.06mol/L<br><br />
C.0.024mol/L<br><br />
D.0.176mol/L<br />
</blockquote><br />
'''解''' 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。<br />
<br />
===== 化学势与杜南平衡 =====<br />
<br />
<blockquote>[!Example] 示例 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。现以 <math display="inline">\ce{CaCl2}</math> 为例进行计算。<br />
</blockquote><br />
对于 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{甲}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{甲}])-F\varphi_\text{甲侧}<br />
</math> <math display="block"><br />
\mu_{\ce{Cl-}\text{乙}}=\mu^\circ +RT\ln([\ce{Cl-}_\text{乙}])-F\varphi_\text{乙侧}<br />
</math> 当 <math display="inline">\ce{Cl-}</math> 扩散平衡时，两侧电化学势相等 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)+F(\varphi_\text{乙侧}-\varphi_\text{甲侧})=0<br />
</math> 记 <math display="inline">\Delta\varphi \equiv \varphi_\text{甲侧}-\varphi_\text{乙侧}</math> 则上式变为 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)-F\Delta\varphi=0<br />
</math> 同理，对于 <math display="inline">\ce{Ca^2+}</math> 应用相同条件，得 <math display="block"><br />
RT\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)+2F\Delta\varphi=0<br />
</math> <br />
<br />
注意离子电荷数<br />
<br />
利用两式联立消除 <math>\Delta\varphi</math> 得 <math display="block"><br />
\ln\left(\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}\right)=-2\ln\left(\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]}\right)<br />
</math> 同时作为 <math>e</math> 的指数 <math display="block"><br />
\frac{[\ce{Ca^2+}_\text{甲}]}{[\ce{Ca^2+}_\text{乙}]}=\frac{[\ce{Cl-}_\text{甲}]^{-2}}{[\ce{Cl-}_\text{乙}]^{-2}}<br />
</math> 即得杜南平衡条件<br />
<br />
=====一般形式=====<br />
<br />
<math display="block"><br />
\text{Const}=\frac{[\ce{A}^z_\text{甲}]^\frac1z}{[\ce{A}^z_\text{乙}]^\frac1z}<br />
</math><br />
<br />
=====电中性条件=====<br />
<br />
多数情况下，应用杜南平衡条件可得 <math display="inline">\Delta\varphi \ne 0</math> 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 <math display="inline">1\mathrm{nm}</math> 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 <math display="inline">\Delta\varphi</math> 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 <math display="inline">p</math> 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如'''古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory'''），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。<br />
<br />
<br />
<br />
== 万金油型 ==<br />
一、'''顺应性''' <br />
<br />
二、黄金代换：'''做功量'''<br />
<br />
三、压力形成的推导<br />
<br />
欧姆定律：<br />
<br />
本质：（Flow流量；R阻力）<br />
<br />
（S面积；v速度）<br />
<br />
综上，</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Raspierry&diff=13201
用户:Raspierry
2026-02-12T09:44:18Z
<p>Raspierry：创建页面，内容为“Raspierry@outlook.com 不建议在此留言”</p>
<hr />
<div>Raspierry@outlook.com<br />
<br />
不建议在此留言</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Yzqzss&diff=13200
用户讨论:Yzqzss
2026-02-12T09:42:22Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div>呼叫管理！出现大量垃圾广告界面！！<br />
<br />
收到收到。<br />
<br />
--[[用户:Yzqzss|Yzqzss]]（[[用户讨论:Yzqzss|讨论]]） 2024年3月20日 (三) 11:14 (CST)<br />
<br />
请问如何上传大量图片，我转载的几篇文章中还有很多图片没有上传<br />
PS：今天偶然上号发现网站竟然活了，每天都有人，而且出现了管理~hh<br />
——Yunzizhi<br />
<br />
网站证书过期了捏。<br />
证书又过期了捏，现在PC端完全用不了，下载不了文件（恼）<br />
<br />
请删除[[第三十六章 体液的容量和渗透压调节（有待删除或者重定向）]]，[[第三十六章 体液的容量和渗透压调节]][[第七章 刺胞动物门：海葵，珊瑚，水母及其亲属]]。原因，与已有界面重复并且懒得重定向了（没必要）<br />
<br />
还有这两个页面[[GABAA 受体]][[GABA受体]]原因，没有内容<br />
<br />
已处理。<br />
--[[用户:Yzqzss|Yzqzss]]（[[用户讨论:Yzqzss|留言]]） 2026年1月15日 (四) 09:12 (CST)<br />
<br />
请考虑为osm.bio添加LaTeX/MathJax公式渲染功能。不知为何MediaWiki自带的这个功能在osm.bio上无法使用。2026.2.10曾向yzqzss@othing.xyz反映情况，至2.12尚无回复。--[[用户:Raspierry|Raspierry]]</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%89%A9%E7%BD%91%E7%AB%99&diff=10585
生物网站
2025-08-03T09:27:07Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div><br />
=== 每个生物人都应该知道的网站（欢迎补充） ===<br />
编辑要求：用语简洁，少说废话<br />
<br />
== 学术搜索引擎 ==<br />
<br />
=== 中国知网 ===<br />
https://www.cnki.net/<br />
<br />
（啊，什么是知网?)_玩梗<br />
<br />
=== Google Scholar（需🪜） ===<br />
https://scholar.google.com/<br />
<br />
=== 万方数据 ===<br />
https://www.wanfangdata.com.cn/index.html?index=true<br />
<br />
=== 百度学术 ===<br />
https://xueshu.baidu.com/?source=chemnav.net<br />
<br />
=== 全国图书馆参考咨询联盟 ===<br />
http://www.ucdrs.superlib.net/<br />
<br />
=== SciDB（需🪜) ===<br />
https://annas-archive.org/scidb<nowiki/>（注：该网站为Anna's Archive的子项目，是Sci-Hub的超集，用以从DOI下载文献）<br />
<br />
===PubMed===<br />
https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/<nowiki>（生物医学文献）</nowiki><br />
<br />
=== Web of Science ===<br />
https://webofscience.clarivate.cn/wos/alldb/basic-search<br />
<br />
'''<big>ScienceDirect</big>'''<br />
<br />
https://www.sciencedirect.com/<br />
<br />
=== 玻尔 ===<br />
AI学术搜索<br />
<br />
https://www.bohrium.com/<br />
<br />
<br />
== 系统分类 ==<br />
<br />
=== NCBI Taxonomy ===<br />
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/taxonomy<br />
<br />
=== 生命之树 ===<br />
[http://tolweb.org tolweb.org](这个链接有大病，得把https去掉产能登，服了）<br />
<br />
↑写这句话的人也有大病，一个非加密链接还用https头，能访问就怪了。20250725已修改正常<br />
<br />
== 显微技术 ==<br />
<br />
=== 正势利 ===<br />
[[文件:Ph.png|缩略图|185x185像素]]<br />
https://zhengshili.com/<br />
<br />
光学设计相关网站，涵盖显微技术，其吸引我的是讲DIC和微分干涉显微镜的一篇文章，站长做了一个超酷的交互式对比。<br />
<br />
我能找到这种古老，小众，风格别致的网站也是一种缘分啊。<br />
<br />
（此网站据我推测是由一位郑姓光学设计行业老资历的个人网站，域名于2011创建）<br />
[[文件:Dic.png|缩略图|185x185像素]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 信号通路 ==<br />
<br />
=== KEGG ===<br />
https://kegg.jp<nowiki/>（功能十分强大，有几乎全部信号通路可供查询；此外还有代谢途径、生理作用模式图甚至酶、代谢物信息可供查看，无汉化。）<br />
<br />
（求大神汉化）<br />
<br />
=== Cell Signaling Technology (CST) 官网 ===<br />
https://www.cellsignal.cn/<br />
<br />
Cell Signaling Technology (CST) 是美国的一家生物公司，是信号转导研究的领导者之一。其官网上具有丰富的热点研究介绍和全面且详细的信号转导通路。信号转导以疾病/研究领域检索。<br />
<br />
== 电子书 ==<br />
<br />
=== Biology Libretexts ===<br />
https://bio.libretexts.org/<br />
<br />
=== Z-library(需🪜由于FBI调查总被封禁) ===<br />
https://z-lib.gs/<br />
<br />
=== anna' archive ===<br />
https://annas-archive.org/<br />
<br />
== 综合性网站 ==<br />
<br />
=== 生物行 ===<br />
https://www.bioguider.com/index.html<br />
<br />
=== 维基百科（需🪜建议英文版资料比较全） ===<br />
https://en.wikipedia.org/<nowiki/>（注：无🪜可用在线kiwix项目，无网络可用离线kiwix项目，自行搜索）<br />
<br />
=== 购物网站 ===<br />
<br />
==== 淘宝 ====<br />
<br />
==== 闲鱼 ====<br />
<br />
==== 孔夫子旧书网 ====<br />
=== 大英百科全书 ===<br />
https://www.britannica.com/<nowiki/>（一些名词解释与少量物种信息在上面也能查到，主要是不用梯子）<br />
<br />
=== '''丁香园/丁香实验''' ===<br />
[https://www.dxy.cnhttps//www.dxy.cn/ https://www.dxy.cn] （丁香园，主要是医学相关，比较多的临床案例和碎片信息）<br />
<br />
https://pro.biomart.cn/lab-web/<nowiki/>（丁香实验，主要为实验操作及疑难解答）<br />
<br />
=== 瑞士生物图片 ===<br />
https://www.swissbiopics.org/<br />
<br />
=== A＋医学百科 ===<br />
http://www.a-hospital.com/<br />
<br />
=== AI生竞密钥2.0 ===<br />
一群行动力超强的人，新建了一个AI对话，将几百本大学教材作为唯一的参考数据来源，理论上是非常牛逼的。<br />
<br />
秘塔AI本身也是全网目前对生物学习帮助能力最大的AI，吊打知乎直达和DeepSeek。<br />
<br />
https://metaso.cn/s/CAe8lcw<nowiki/>（收录了300本生命科学专业书籍，可以帮助大家快速找到知识点）<br />
<br />
=== 生物学家-智谱清言智能体 ===<br />
<br />
* 拥有生物学本科阶段全领域教材作为知识库<br />
** 知识库不定期维护，目前收录《生物化学原理》第4版、《基础生态学》第4版（高等教育出版社）、《生理学》第10版（人民卫生出版社）等最新知名教材<br />
* 拥有联网搜索功能，可交叉验证事实<br />
<br />
https://chatglm.cn/share/NF3JkIJC<br />
<br />
<br />
== 植物生理 ==<br />
<br />
=== 牛津学术Plant Physiology ===<br />
[https://academic.oup.com/plphys/issue/197/1 https://academic.oup.com/plphys]<br />
<br />
== 植物检索&植物综合 ==<br />
<br />
=== 在线中国植物志 ===<br />
http://www.cn-flora.ac.cn:28080/plantonline/plantonlinesite/toChineseName<br />
<br />
=== 植物智 ===<br />
http://www.iplant.cn/<br />
<br />
=== 多识植物百科 ===<br />
https://duocet.ibiodiversity.net/index.php<br />
<br />
=== 中国自然标本馆 ===<br />
https://www.cfh.ac.cn/<br />
<br />
'''<big>PPBC中国植物图像库</big>'''<br />
<br />
https://ppbc.iplant.cn/<br />
<br />
== 动物检索&动物综合 ==<br />
<br />
=== 中国生物志库 ===<br />
https://species.sciencereading.cn/biology/v/biologicalIndex/122.html<br />
<br />
=== 蓝色动物学 ===<br />
https://blueanimalbio-mirror.github.io/index.htm<br />
<br />
=== '''<big>Palaeos（</big><small>依据地质年代，演化关系编排的学习生物演化，以及脊椎动物骨骼解剖等的综合英文网站，你可以在看河翻译的Vertebrates:Comparative Anatomy,Function,Evolution时使用</small><big>）</big>''' ===<br />
http://palaeos.com/index.html<br />
<br />
=== '''爱自然（inaturalist）''' ===<br />
[http://inaturalist.org https://www.inaturalist.org]<br />
<br />
=== IISDW(积分昆虫网） ===<br />
专业昆虫微距摄影网站，包含世界各地精美的微距摄影作品，可以按照系统树进行检索。<br />
<br />
站长是B站up“斯洛什维克”<br />
<br />
https://insectaintegration.com/archives/593<br />
<br />
== 植物切片图谱 ==<br />
<br />
=== 在线植物显微解剖 ===<br />
https://onlinemicroscopy.ugent.be/introENG.htm<br />
<br />
== 英文即时翻译插件 ==<br />
<br />
=== 沉浸式翻译 ===<br />
https://immersivetranslate.com/zh-Hans/<br />
<br />
==生物多样性==<br />
===GBIF===<br />
https://www.gbif.org/</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%89%A9%E7%BD%91%E7%AB%99&diff=10411
生物网站
2025-07-25T01:55:28Z
<p>Raspierry：</p>
<hr />
<div><br />
=== 每个生物人都应该知道的网站（欢迎补充） ===<br />
编辑要求：用语简洁，少说废话<br />
<br />
== 学术搜索引擎 ==<br />
<br />
=== 中国知网 ===<br />
https://www.cnki.net/<br />
<br />
（啊，什么是知网?)_玩梗<br />
<br />
=== Google Scholar（需🪜） ===<br />
https://scholar.google.com/<br />
<br />
=== 万方数据 ===<br />
https://www.wanfangdata.com.cn/index.html?index=true<br />
<br />
=== 百度学术 ===<br />
https://xueshu.baidu.com/?source=chemnav.net<br />
<br />
=== 全国图书馆参考咨询联盟 ===<br />
http://www.ucdrs.superlib.net/<br />
<br />
=== SciDB（需🪜) ===<br />
https://annas-archive.org/scidb<nowiki/>（注：该网站为Anna's Archive的子项目，是Sci-Hub的超集，用以从DOI下载文献）<br />
<br />
===PubMed===<br />
https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/<nowiki>（生物医学文献）</nowiki><br />
<br />
=== Web of Science ===<br />
https://webofscience.clarivate.cn/wos/alldb/basic-search<br />
<br />
'''<big>ScienceDirect</big>'''<br />
<br />
https://www.sciencedirect.com/<br />
<br />
=== 玻尔 ===<br />
AI学术搜索<br />
<br />
https://www.bohrium.com/<br />
<br />
=== 生物学家-智谱清言智能体 ===<br />
<br />
* 拥有生物学本科阶段全领域教材作为知识库<br />
** 知识库不定期维护，目前收录《生物化学原理》第4版、《基础生态学》第4版（高等教育出版社）、《生理学》第10版（人民卫生出版社）等最新知名教材<br />
* 拥有联网搜索功能，可交叉验证事实<br />
<br />
https://chatglm.cn/share/NF3JkIJC<br />
<br />
== 系统分类 ==<br />
<br />
=== NCBI Taxonomy ===<br />
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/taxonomy<br />
<br />
=== 生命之树 ===<br />
[http://tolweb.org tolweb.org](这个链接有大病，得把https去掉产能登，服了）<br />
<br />
↑写这句话的人也有大病，一个非加密链接还用https头，能访问就怪了。20250725已修改正常<br />
<br />
== 显微技术 ==<br />
<br />
=== 正势利 ===<br />
[[文件:Ph.png|缩略图|185x185像素]]<br />
https://zhengshili.com/<br />
<br />
光学设计相关网站，涵盖显微技术，其吸引我的是讲DIC和微分干涉显微镜的一篇文章，站长做了一个超酷的交互式对比。<br />
<br />
我能找到这种古老，小众，风格别致的网站也是一种缘分啊。<br />
<br />
（此网站据我推测是由一位郑姓光学设计行业老资历的个人网站，域名于2011创建）<br />
[[文件:Dic.png|缩略图|185x185像素]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 信号通路 ==<br />
<br />
=== KEGG ===<br />
https://kegg.jp<nowiki/>（功能十分强大，有几乎全部信号通路可供查询；此外还有代谢途径、生理作用模式图甚至酶、代谢物信息可供查看，无汉化。）<br />
<br />
（求大神汉化）<br />
<br />
=== Cell Signaling Technology (CST) 官网 ===<br />
https://www.cellsignal.cn/<br />
<br />
Cell Signaling Technology (CST) 是美国的一家生物公司，是信号转导研究的领导者之一。其官网上具有丰富的热点研究介绍和全面且详细的信号转导通路。信号转导以疾病/研究领域检索。<br />
<br />
== 电子书 ==<br />
<br />
=== Biology Libretexts ===<br />
https://bio.libretexts.org/<br />
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=== Z-library(需🪜由于FBI调查总被封禁) ===<br />
https://z-lib.gs/<br />
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=== anna' archive ===<br />
https://annas-archive.org/<br />
<br />
== 综合性网站 ==<br />
<br />
=== 生物行 ===<br />
https://www.bioguider.com/index.html<br />
<br />
=== 维基百科（需🪜建议英文版资料比较全） ===<br />
https://en.wikipedia.org/<nowiki/>（注：无🪜可用在线kiwix项目，无网络可用离线kiwix项目，自行搜索）<br />
<br />
=== 购物网站 ===<br />
<br />
==== 淘宝 ====<br />
<br />
==== 闲鱼 ====<br />
<br />
==== 孔夫子旧书网 ====<br />
=== 大英百科全书 ===<br />
https://www.britannica.com/<nowiki/>（一些名词解释与少量物种信息在上面也能查到，主要是不用梯子）<br />
<br />
=== '''丁香园/丁香实验''' ===<br />
[https://www.dxy.cnhttps//www.dxy.cn/ https://www.dxy.cn] （丁香园，主要是医学相关，比较多的临床案例和碎片信息）<br />
<br />
https://pro.biomart.cn/lab-web/<nowiki/>（丁香实验，主要为实验操作及疑难解答）<br />
<br />
=== 瑞士生物图片 ===<br />
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<br />
=== A＋医学百科 ===<br />
http://www.a-hospital.com/<br />
<br />
=== AI生竞密钥2.0 ===<br />
一群行动力超强的人，新建了一个AI对话，将几百本大学教材作为唯一的参考数据来源，理论上是非常牛逼的。<br />
<br />
秘塔AI本身也是全网目前对生物学习帮助能力最大的AI，吊打知乎直达和DeepSeek。<br />
<br />
https://metaso.cn/s/CAe8lcw<nowiki/>（收录了300本生命科学专业书籍，可以帮助大家快速找到知识点）<br />
<br />
== 植物生理 ==<br />
<br />
=== 牛津学术Plant Physiology ===<br />
[https://academic.oup.com/plphys/issue/197/1 https://academic.oup.com/plphys]<br />
<br />
== 植物检索&植物综合 ==<br />
<br />
=== 在线中国植物志 ===<br />
http://www.cn-flora.ac.cn:28080/plantonline/plantonlinesite/toChineseName<br />
<br />
=== 植物智 ===<br />
http://www.iplant.cn/<br />
<br />
=== 多识植物百科 ===<br />
https://duocet.ibiodiversity.net/index.php<br />
<br />
=== 中国自然标本馆 ===<br />
https://www.cfh.ac.cn/<br />
<br />
'''<big>PPBC中国植物图像库</big>'''<br />
<br />
https://ppbc.iplant.cn/<br />
<br />
== 动物检索&动物综合 ==<br />
<br />
=== 中国生物志库 ===<br />
https://species.sciencereading.cn/biology/v/biologicalIndex/122.html<br />
<br />
=== 蓝色动物学 ===<br />
https://blueanimalbio-mirror.github.io/index.htm<br />
<br />
=== '''<big>Palaeos（</big><small>依据地质年代，演化关系编排的学习生物演化，以及脊椎动物骨骼解剖等的综合英文网站，你可以在看河翻译的Vertebrates:Comparative Anatomy,Function,Evolution时使用</small><big>）</big>''' ===<br />
http://palaeos.com/index.html<br />
<br />
=== '''爱自然（inaturalist）''' ===<br />
[http://inaturalist.org https://www.inaturalist.org]<br />
<br />
=== IISDW(积分昆虫网） ===<br />
专业昆虫微距摄影网站，包含世界各地精美的微距摄影作品，可以按照系统树进行检索。<br />
<br />
站长是B站up“斯洛什维克”<br />
<br />
https://insectaintegration.com/archives/593<br />
<br />
== 植物切片图谱 ==<br />
<br />
=== 在线植物显微解剖 ===<br />
https://onlinemicroscopy.ugent.be/introENG.htm<br />
<br />
== 英文即时翻译插件 ==<br />
<br />
=== 沉浸式翻译 ===<br />
https://immersivetranslate.com/zh-Hans/<br />
<br />
==生物多样性==<br />
===GBIF===<br />
https://www.gbif.org/</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%89%A9%E7%BD%91%E7%AB%99&diff=10409
生物网站
2025-07-24T08:39:45Z
<p>Raspierry：添加2个通用性/生物学网站</p>
<hr />
<div><br />
=== 每个生物人都应该知道的网站（欢迎补充） ===<br />
编辑要求：用语简洁，少说废话<br />
<br />
== 学术搜索引擎 ==<br />
<br />
=== 中国知网 ===<br />
https://www.cnki.net/<br />
<br />
（啊，什么是知网?)_玩梗<br />
<br />
=== Google Scholar（需🪜） ===<br />
https://scholar.google.com/<br />
<br />
=== 万方数据 ===<br />
https://www.wanfangdata.com.cn/index.html?index=true<br />
<br />
=== 百度学术 ===<br />
https://xueshu.baidu.com/?source=chemnav.net<br />
<br />
=== 全国图书馆参考咨询联盟 ===<br />
http://www.ucdrs.superlib.net/<br />
<br />
=== SciDB（需🪜) ===<br />
https://annas-archive.org/scidb<nowiki/>（注：该网站为Anna's Archive的子项目，是Sci-Hub的超集，用以从DOI下载文献）<br />
<br />
===PubMed===<br />
https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/<nowiki>（生物医学文献）</nowiki><br />
<br />
=== Web of Science ===<br />
https://webofscience.clarivate.cn/wos/alldb/basic-search<br />
<br />
'''<big>ScienceDirect</big>'''<br />
<br />
https://www.sciencedirect.com/<br />
<br />
=== 玻尔 ===<br />
AI学术搜索<br />
<br />
https://www.bohrium.com/<br />
<br />
=== 生物学家-智谱清言智能体 ===<br />
<br />
* 拥有生物学本科阶段全领域教材作为知识库<br />
** 知识库不定期维护，目前收录《生物化学原理》第4版、《基础生态学》第4版（高等教育出版社）、《生理学》第10版（人民卫生出版社）等最新知名教材<br />
* 拥有联网搜索功能，可交叉验证事实<br />
<br />
https://chatglm.cn/share/NF3JkIJC<br />
<br />
== 系统分类 ==<br />
<br />
=== NCBI Taxonomy ===<br />
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/taxonomy<br />
<br />
=== 生命之树 ===<br />
[https://tolweb.org tolweb.org](这个链接有大病，得把https去掉产能登，服了）<br />
<br />
== 显微技术 ==<br />
<br />
=== 正势利 ===<br />
[[文件:Ph.png|缩略图|185x185像素]]<br />
https://zhengshili.com/<br />
<br />
光学设计相关网站，涵盖显微技术，其吸引我的是讲DIC和微分干涉显微镜的一篇文章，站长做了一个超酷的交互式对比。<br />
<br />
我能找到这种古老，小众，风格别致的网站也是一种缘分啊。<br />
<br />
（此网站据我推测是由一位郑姓光学设计行业老资历的个人网站，域名于2011创建）<br />
[[文件:Dic.png|缩略图|185x185像素]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 信号通路 ==<br />
<br />
=== KEGG ===<br />
https://kegg.jp<nowiki/>（功能十分强大，有几乎全部信号通路可供查询；此外还有代谢途径、生理作用模式图甚至酶、代谢物信息可供查看，无汉化。）<br />
<br />
（求大神汉化）<br />
<br />
=== Cell Signaling Technology (CST) 官网 ===<br />
https://www.cellsignal.cn/<br />
<br />
Cell Signaling Technology (CST) 是美国的一家生物公司，是信号转导研究的领导者之一。其官网上具有丰富的热点研究介绍和全面且详细的信号转导通路。信号转导以疾病/研究领域检索。<br />
<br />
== 电子书 ==<br />
<br />
=== Biology Libretexts ===<br />
https://bio.libretexts.org/<br />
<br />
=== Z-library(需🪜由于FBI调查总被封禁) ===<br />
https://z-lib.gs/<br />
<br />
=== anna' archive ===<br />
https://annas-archive.org/<br />
<br />
== 综合性网站 ==<br />
<br />
=== 生物行 ===<br />
https://www.bioguider.com/index.html<br />
<br />
=== 维基百科（需🪜建议英文版资料比较全） ===<br />
https://en.wikipedia.org/<nowiki/>（注：无🪜可用在线kiwix项目，无网络可用离线kiwix项目，自行搜索）<br />
<br />
=== 购物网站 ===<br />
<br />
==== 淘宝 ====<br />
<br />
==== 闲鱼 ====<br />
<br />
==== 孔夫子旧书网 ====<br />
=== 大英百科全书 ===<br />
https://www.britannica.com/<nowiki/>（一些名词解释与少量物种信息在上面也能查到，主要是不用梯子）<br />
<br />
=== '''丁香园/丁香实验''' ===<br />
[https://www.dxy.cnhttps//www.dxy.cn/ https://www.dxy.cn] （丁香园，主要是医学相关，比较多的临床案例和碎片信息）<br />
<br />
https://pro.biomart.cn/lab-web/<nowiki/>（丁香实验，主要为实验操作及疑难解答）<br />
<br />
=== 瑞士生物图片 ===<br />
https://www.swissbiopics.org/<br />
<br />
=== A＋医学百科 ===<br />
http://www.a-hospital.com/<br />
<br />
=== AI生竞密钥2.0 ===<br />
一群行动力超强的人，新建了一个AI对话，将几百本大学教材作为唯一的参考数据来源，理论上是非常牛逼的。<br />
<br />
秘塔AI本身也是全网目前对生物学习帮助能力最大的AI，吊打知乎直达和DeepSeek。<br />
<br />
https://metaso.cn/s/CAe8lcw<nowiki/>（收录了300本生命科学专业书籍，可以帮助大家快速找到知识点）<br />
<br />
== 植物生理 ==<br />
<br />
=== 牛津学术Plant Physiology ===<br />
[https://academic.oup.com/plphys/issue/197/1 https://academic.oup.com/plphys]<br />
<br />
== 植物检索&植物综合 ==<br />
<br />
=== 在线中国植物志 ===<br />
http://www.cn-flora.ac.cn:28080/plantonline/plantonlinesite/toChineseName<br />
<br />
=== 植物智 ===<br />
http://www.iplant.cn/<br />
<br />
=== 多识植物百科 ===<br />
https://duocet.ibiodiversity.net/index.php<br />
<br />
=== 中国自然标本馆 ===<br />
https://www.cfh.ac.cn/<br />
<br />
'''<big>PPBC中国植物图像库</big>'''<br />
<br />
https://ppbc.iplant.cn/<br />
<br />
== 动物检索&动物综合 ==<br />
<br />
=== 中国生物志库 ===<br />
https://species.sciencereading.cn/biology/v/biologicalIndex/122.html<br />
<br />
=== 蓝色动物学 ===<br />
https://blueanimalbio-mirror.github.io/index.htm<br />
<br />
=== '''<big>Palaeos（</big><small>依据地质年代，演化关系编排的学习生物演化，以及脊椎动物骨骼解剖等的综合英文网站，你可以在看河翻译的Vertebrates:Comparative Anatomy,Function,Evolution时使用</small><big>）</big>''' ===<br />
http://palaeos.com/index.html<br />
<br />
=== '''爱自然（inaturalist）''' ===<br />
[http://inaturalist.org https://www.inaturalist.org]<br />
<br />
=== IISDW(积分昆虫网） ===<br />
专业昆虫微距摄影网站，包含世界各地精美的微距摄影作品，可以按照系统树进行检索。<br />
<br />
站长是B站up“斯洛什维克”<br />
<br />
https://insectaintegration.com/archives/593<br />
<br />
== 植物切片图谱 ==<br />
<br />
=== 在线植物显微解剖 ===<br />
https://onlinemicroscopy.ugent.be/introENG.htm<br />
<br />
== 英文即时翻译插件 ==<br />
<br />
=== 沉浸式翻译 ===<br />
https://immersivetranslate.com/zh-Hans/<br />
<br />
==生物多样性==<br />
===GBIF===<br />
https://www.gbif.org/</div>
Raspierry
https://osm.bio/index.php?title=%E7%94%9F%E7%AB%9E%E6%A2%97%E7%99%BE%E7%A7%91%E6%98%AF%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%A2%97&diff=10367
生竞梗百科是什么梗
2025-07-21T13:52:19Z
<p>Raspierry：增加马伟元在2025.7金石为开课堂上的有趣言论</p>
<hr />
<div>内容包括但不限于生竞热门事件（如北大逆天植物学），生竞教师（如杨荣武），生竞历史。旨在帮助初入生竞的选手融入生竞圈。<br />
<br />
PS：请尊重一下衡水中学同学的意见，同学们不希望衡水中学出现在osm上，容易产生不好的影响，谢谢合作<br />
<br />
== 生竞热门事件 ==<br />
希望大家共建美好生竞社区，不要在这里发泄怨气哦。<br />
=== 全国中学生生物学联赛与全国中学生生物学竞赛 ===<br />
[[文件:Screenshot 2025-01-10-12-59-27-691 com.tencent.mobileqq.jpg|缩略图|实施细则]]<br />
<br />
* [[文件:清华北师生科院.png|缩略图]]'''参考书目 以《陈阅增普通生物学》为全国生物学联赛、全国生物学竞赛的主要参考书目。'''<br />
* 原答案不变：出自2022年评议稿回复“'''原答案不变！'''脑神经由脑发出，归属在中枢神经系统没有问题。”，因过于离谱广受嘲讽。<br />
* 痞老板：出自2023年国赛试题，给出一张痞老板的简笔画，试问其属于什么动物。当时许多选手都选择了原生动物眼虫，事实上痞老板是甲壳亚门颚足纲的剑水蚤，因为它有中眼，触角分节，第一触角较小所以在动画中不被展示。<br />
*重（zhòng）庆：2023年国赛开幕式上各省队员的集合位点按首字母排序，重庆队员未能找到他们的位置，原因是重（chóng）庆被识别成重（zhòng）庆而被排在最后。<s>于是当年重庆化悲愤为力量爆砍10集22金，一举坐稳生竞超一流省份，后来只留下了叫错名字，省队+8的传说。</s><br />
* 63道多选：指由北京大学组织出卷的2024年全国中学生生物学联赛试题，共106题169分，有63道多选、43道单选，创下历史。<br />
* 2025年联赛：难度超标的72道题，出题人欠C，指评议稿中许多C选项没选，与机构答案大相径庭，例如：<br />
**认为次生韧皮部细胞数多于次生木质部<br />
**搞不清“成正比”是什么意思<br />
**认为离子通道开放的过程中空间结构不会发生变化<br />
**选项不仅没有打印完，还认为这个十分正确的选项（有关lncRNA）是错误的<br />
** [[文件:25年72道新题型.png|缩略图]][[文件:17a09abc34a34d57f4340d5c60a5f2410c9f26a3.jpg|缩略图|材料题得了MVP]]<br />
<br />
=== 教材 ===<br />
单纯的教材错误移至[[教材错误与矛盾]]。<br />
* 生理学中的泥石流：王玢, 左明雪. 人体及动物生理学. 3版. 北京：高等教育出版社，包括但不限于二价的钠离子，一价的钙离子，以及等长自身调节。<br />
* 王左学派：王玢, 左明雪. 人体及动物生理学. 3版. 北京：高等教育出版社内容过于离谱，大家戏称此书是主流生理学以外的“王左学派”。在王左学派的理论中，二价钠离子、一价钙离子都是非常合理的存在。<br />
*杨荣武. 生物化学原理. 3版. 北京：高等教育出版社. 156，框8-1由投弹手甲虫联想到kb分子行动失败，<s>这什么地狱笑话。</s><br />
*盟军参加一战：杨荣武.生物化学原理.3版 北京：高等教育出版社408 杨sir在小框故事中称魏茨曼在一战中为盟军生产丙酮做出贡献，但显然应该指的是协约国军队（）鉴定为杨sir对历史不感兴趣，于是让盟军提前登场了（盟军也能指同盟国军队，不过那就更离谱了）<br />
<br />
=== 机构 ===<br />
按拼音字母顺序排列。<br />
<br />
==== 北斗学友 ====<br />
2011年在北京成立，校长张斌。<br />
<br />
* 467：某讲题人录视频讲解2025寒假全真模考一时，把嘌呤环来自甘氨酸的原子记成了467，在场的同学都吓哭了（确信）。<br />
[[文件:63道多选.jpg|缩略图|替代=63道多选|63道多选]]2025劳动节期间北斗押题班<br />
* 2025.5.1部分<br />
** 【奇怪的声音】：一同学在下午上课时看番不小心外放出声，引得哄堂大笑，遂向老师提问以掩盖自己看番的事实<br />
** “你们两个拉手干什么？”：坐在第一排的两位男同学在晚上自习时默默拉起了手，被北斗的老师看到后被质问：“你们两个为什么拉着手？”，其中一位就是上文爱看番的那位同学，他回答道：“老师，他是我女朋友”（注：这位“女朋友”是孙吧黄牌）<br />
* 2025.5.2部分<br />
** “哦对的对的，哦不对，对对，对吗？”：北斗学长李宸恺在讲解题目时被一道十分简单的遗传题目所困扰<br />
** “我们需要提提速啊”：李宸恺在讲课时多次提到进度太慢需要加速，故课间不下课且讲题语速飞快，但实际上这套卷子的讲解时间尚未过半<br />
** 李宸恺学长是天津的国集，理论考试第五名，但他的生竞笔记让人头大。据天津同学所说，李学长还在生竞方面为他的学弟提供了很多指导意见，人很好，线上课程的讲解也挺好的，可能也是第一次线下比较紧张吧（<br />
** “我想喝可乐！”：2025.5.2晚，一位不愿透露姓名的同学在上课前带来了一个带吸管的头盔并装弹两瓶可口可乐，同学们十分敬佩。据本人所说：“我只是想喝可乐！”[[文件:就你还想进省队？.jpg|缩略图|图片来源于网络，侵删]]<br />
** “拿一下笔记”：李学长在备课时做了笔记，但却将其忘在房间，遂在上课时回房间取，并表示“同学们如果还想休息的话一会儿课间可以再休息一下”<br />
** “嗨！”：李学长在讲课时每当表述错误或突然想通便会发出“嗨”的一声感叹，台下同学云集响应，向学长行礼以示尊敬<br />
** 【奇妙蛙卵】：还是第一排的一位同学在矿泉水瓶中泡奇亚籽，形似蛙卵，并邀请广大同学品尝<br />
*[[文件:李宸恺的符咒.jpg|缩略图|李宸恺的鬼画符]]【鬼画符】：李学长在讲解遗传题时画出了惊人的符咒<br />
*2025.5.3部分<br />
**【顺口溜】：李学长的课间中有很多顺口溜，每次都语速极快地说完，加上学长迷人的字迹，让人头大<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2025年国赛暑假培训<blockquote>竟然没有人写真是太可惜了（）<br />
<br />
——鸟鸟要学会自己动笔XD</blockquote><br />
<br />
* 丛义艳老师要求每个人在纸上写下自己的姓名年级学校（详见后文“压力王”），段志贵老师在分子考试跑电泳是要求每个人在纸上对应泳道写下自己的姓名、座位号，加之北斗在植物学做实验时拍下所有人实验特写并附上名字发群，大大降低盒人难度。<br />
* 分子实验等待离心时几个入在后排聚众打sparebeat（）还有几个入在聚众看NBA总决赛<br />
* 生化实验全体断电（先是中间，连着数个水浴锅和一个离心机（离心机还开盖了；再是两边，连着数个离心机），中间电路好不容易恢复，<s>也不知道助教脑子怎么想的</s>把两边离心机移到中间，导致中间又炸了。<br />
* 细胞实验做血涂片时有同学大喊“哇真的很愉悦”“哇好爽啊”（详见后文“刘凯于”部分（）<br />
<br />
'''湖南师大'''<br />
<br />
专攻实验培训，有丛义艳、周畅、段志贵等一众实验培训老师；杨海明、黎维平则是退休教师。<br />
<br />
* 离心王：在湖南师大培训实验的一位高一省队佬，但实验操作过于逆天。招式包括“高速离心 五管（并未使用正确五管配平方法，且用手按住离心机不让其出声）”、“高速离心 盖子掉进离心机内部”、“简易离心 我独自离心”、“植生 研钵研飞”、“PAGE 上样六孔（以至于别人上不了样，后被車用100微升枪吹出来重新利用）”、“植物 裸片观察（不盖盖玻片）”、“遗传 裸片油镜（不滴香柏油）”、“遗传 放飞果蝇”。于是他获得了“离心王”的称号。<br />
<br />
==== 汇智起航 ====<br />
<br />
* 一直以为“参考答案仅供参考”是一种谦虚的说法，直到看到汇智起航的试卷与答案。<br />
*《关于汇智的解析整理是直接抄osm上的总结这件事》——：osm本来就遵循[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ 共享的原则]<br>——是啦，也没有谴责的意思，只是觉得很有趣而已【说不定哪天会搬到我的页面（雾）】<br>CC-BY-SA协议虽然可以商用，但是必须署名，即标明来源<br />
*汇智2025寒假济南集训段甜鑫学长和⬆️李宸恺学长是大学室友（段学长的穿搭太前沿了（））<br />
*2025暑假 汇智提高班 动物学老师多次将“北大”口误为“北斗”（包括但不限于“24年国赛选拔卷，这个也是北斗出的”“26年是北斗出题”）<br />
*还是这位动物学老师，称无脊椎动物的进化史就是一个不断操纵水流的进化过程（大意），“吸尘器的进化史”<br />
*还是他，称中胚层发育的切面长得像中国银行的logo<br />
*由于水螅在洁净的淡水中固着，老师：“你找水螅要去洁净的水体里去找啊，清北池塘（空耳食堂）。”<br />
*讲钵水母的时候往ppt上放水月（舟的角色）并圈出其帽子上的图案说你们觉得这是什么呢（实际上是生殖腺)<br />
[[文件:OIP-C.webp|无|缩略图|200x200像素|图源edge]]<br />
<br />
* 问蚯蚓哪里没有刚毛时称“尾节没有，有那不扎屁股嘛”<br />
* 讲担轮幼虫的时候说它有中胚层，但是中胚层不想变成体腔<br />
* 讲（扁形动物后）大部分雌雄同体的动物都是异体受精，因为它的雌孔雄孔不在一起，自己的卵子和精子遇不到，“它又不能拿手抹一抹”<br />
* 下课时电脑投屏出现一热点名为“我不要当超级省一”，引起一阵轰动；其实并非真正的省一姐，系某同学对于“我不要当超级省一”之名感触颇深，只觉摧心剖肝，欲哭无泪，遂改热点名（）<br />
<br />
==== 卓智汇 ====<br />
汇智启航的兄弟<br />
<br />
==== 金石为开 ====<br />
为防止给osm带来不必要的法律风险，请不要编写有关金石为开的负面词条<br />
<blockquote>机构不大口气不小喵，我说实话离了苟谁知道你<br />
<br />
<br />
最好的机构，你甚至在这里看不到他的负面评价。</blockquote><br />
<br />
==== 启轩嘉远 ====<br />
先帝创业未半而中道崩殂<br />
<br />
遗产：两套题（都很唐）<br />
<br />
==== 人人堂 ====<br />
金石为开的兄弟<br />
<br />
==== 万邦 ====<br />
<br />
==== 祥恩启学 ====<br />
<br />
==== 学大伟业 ====<br />
<br />
==== 学而思 ====<br />
<br />
==== 愿程 ====<br />
创始人郝临峰。<br />
<br />
*惊艳，茅塞顿开：源自愿程寒假生物科普检测邀请函“在过去的刷题项目中，愿程对将近五百名同学进行了调查，获得了数千份真实反馈，结果显示有94%的同学认为水平明显超过其他机构，其中约有两成（19%）的同学称‘惊艳，茅塞顿开’。”（经验，茅厕顿开！【指正，雾】）<br />
* 寒假的抽象生化分子模块卷，里面的逆天题目包括但不限于：e"dam"降解（建议反复朗读）、蛋白质N端的蛋白质、ATP合酶不是转位酶、对核苷酸进行测序，α螺旋n位氨基酸和n+5位氨基酸形成氢键，另外《生化分子专题》没有一道分子的题目。<br />
* 2025YCBO II，你会见到：不能切的PTS2（不看杨荣武导致的）、产物都是软脂酸的脂肪酸合酶（不考虑线粒体导致的）、用F'的接合（改了解析没改选项导致的）、叶绿素数据传奇之无中生有、奇妙断句之“多数昆虫和植物”、奇妙解析之不做突变实验直接做拯救试验、奇妙解析之自动无视5S rRNA（贴了朱玉贤导致的）、奇妙动物解剖之鲎的书肺。原定13日截止交卷改到16日，导致成绩19日才能发出。<br />
<br />
* 2025YCBO II勘误后剩下的内容<br />
** 原解析不变！愿程使用基因工程将5S rRNA的启动子换成了RNA聚合酶I识别的启动子。<br />
** 原答案不变！愿程使用基因工程将PTS2换成了不能切除的序列。<br />
** 原答案不变！本题考察的是原核生物，不考虑线粒体脂肪酸合酶。<br />
** 原答案不变！出题人已经测定了叶绿素含量，只是没告诉你。<br />
** 原答案不变！出题人已经做过突变试验了，只是没告诉你。<br />
*2025YCBO II与郝临峰爹郝金水<br />
** [[文件:真是昏头了.png|缩略图|301x301像素|真是昏头了]][[文件:学生来了肯定有收获.png|缩略图|👌学生来了肯定有收获]]某学校报了愿程的重难点网课后上了几节发现不对，遂询问讲课老师“哪来的题”，教练在联系郝金水后得到了“忘记发了”的回答和YCBO2试卷（？），当时成绩都出了……于是在短暂的混乱后教练再次联系郝金水，得到了“真是昏头了”和副产品重难点讲义<br />
*学生×了肯定有收获:原文为hjs的“学生来了肯定有收获”，因为51刷题班前期体验过于离谱而被广泛地二创（由狼王开始）。示例句式:①:学生踢了一定有收获（yc群hjs的高压统治（bushi））②学生月了一定有收获（hxx群友的面基行为）③学生麦了一定有收获（杭州班的位置偏僻，酒店伙食又难评，所以楼下的金拱门经常涌入大量学生————PS.某杭州学生说，其实这里没那么偏僻［比去萧山、临平近］，好歹在主城区，离东站又近。但是伙食真的难评！） 补：其实万华对面的罗森相当不戳<br />
*[[文件:我比较理解联赛命题人.jpg|缩略图|我比较理解联赛命题人]]《我比较能理解联赛命题人的感受》：时至2025年五一刷题班，含金量还在上升（见右下图） P.S.此项写于2025.4.28 17:50前<br />
*2025五一集训笑传：<br />
**2025.4.27部分<br />
***石乐志的答案与解析：由于愿程出题模式变更，改题人往往改了题目没改答案，改了答案没改解析（hlf：回去会调整）<br />
***模拟一答辩第四部分：论文题一堆<br />
***[[文件:共！情！.jpg|缩略图|共情]]共！情！：碰到屎题怎么办？<br />
***长期素食导致的：关于vitB12长期素食是否缺乏引起了争议（本人表示：完全相信杨Sir！）<br />
***选项改为Q（意为删除，所有人这个选项都都送分——当某几题答案从TTFF更改为QFFF……<br />
***句句爆典：《次要的》《问题有点突出的》《删了算了》《驳回意见》《幸运数字》《直接锤死》《正常卷子也能130 140》《烂卷子练心态》<br />
***8616：集训期间hlf自爆房间号（万华国际6楼16房，欢迎去他房间问问题）<br />
***《最新文献显示胶原蛋白羟基化不需要维 C 参与》：某大神找到的最新文献，其他人：啊 ？ P.S.属于是把常识肘没了（雾<br />
***动物学解析之愿程新说唱：指黄东旭老师讲题语速特别快，他的1倍速是别人的1.5倍速（黄damn旭［指正］）要是比生竞真的强你好几倍是吧（雾）<br />
***<br />
**2025.4.28部分<br />
***“本套试卷难度略低于寒假刷题班综合试题”：指卷2难出天际<br />
***昨日战绩：江苏某钟姓大佬（实则聚合酶佬，132分），超过国集，爆拉第二名（去年福建省第一与Hz佬并列）8.8分，第四名121.2分。P.S.hxx包揽前四3个名额<br />
***前一天考试情况：hlf：本次高手云集，大家可以把自己排名减掉20名。这次浙江来了很多强校，前面的人中浙江的有好多。^v^<br />
***什么鱼最好吃：生态学讲解老师在养殖鱼是否鲜美这个问题上与答案意见相左（解析主讲同样不同意，认为反直觉）<br />
***神秘天堂制造：活雷锋下午21题解析放送时使用天堂制造（电脑故障），导致视频速度当场飞转（10倍速），会场里充满了快活的空气（这件事还发生了2次）。<br />
***防止联赛发电：为了预防再出JA等发电的偏难怪题，所以卷2植物生理题4道偏难怪题。<br />
***模拟国赛：线上课以外爆出卷3的题，出现一个英文的选项，引得众人议论（但其实那个选项理解起来还是很容易的）。据hlf说以前国赛出现过一道全英文题。<br />
***郝临峰的恩情还不完：4.28当天17:50左右，由于前两天出现的种种问题，hlf决定取消视频形式，让所有老师放下手头一切事情，立刻来到杭州讲课，来不了的则hlf自己讲；对试题质量问题亲自致歉；同时原来的资源线上统一开放授权。 PS：由于杨曲顺老师线上讲完课后忘记关闭共享，故暴露群名“杭州救火队”。<br />
***[[文件:Hlf妙手回春.png|缩略图|郝大夫妙手回春]]郝大夫妙手回春：很多人锐评这次试卷第四模块难、论文题图看不清，hlf：第四模块可以妙手回春的，做不了的题我可以改题，做的了但是困难的题目我至少可以把大家讲明白（见右下群聊记录）<br />
***最强肝帝郝临峰：为了讨论卷2，发了问卷，收到了400多条建议/问题，一条一条回复……<br />
***我去！线上忘开声音了！：模拟2勘误，活雷锋又双叒叕忘开线上了…后面他要专门再给线上讲一遍…<br />
***传奇集训之吃吃史：本人在讲完题下课后走到电梯间的路上至少听到了几十句含有“史”“吃饱了”“豪赤”等字眼的语句<br />
***肝帝二号聚合酶：由于聚合酶实力太过高超以至于极显著薄纱其它群u，故于当晚受哈里发之邀前去其房间内测模拟三，并于次日凌晨三点过完成模拟三考前勘误。molmolmol<br />
***吐槽大会：当晚九点四十左右hlf为了到民众中去组织了一场零食（划掉）吐槽大会，讲了一个半小时最终以hlf低血糖撑不住作结（郝哥吃棒棒糖可爱捏），会上hlf与群众就此次刷题班题目质量等问题进行了讨论，并分享了创立愿程的初衷（给那帮机构上点压力！！！），期间有线上的同学特意打电话过来参会（然后问出了“愿程有没有出郝哥等身抱枕的计划”这个惊世骇俗的问题）。散场前hlf问同学们还有没有意见，有同学提到“（零食大会上端上来的）车厘子品级不够”，hlf本人对此表示不解：“这起码得三个勾了还不够啊？？？”<br />
***编者于5.6发现4.28有人把此次51刷题班挂上了知乎，有一个发布于4.28 22：04的回答吐槽此次刷题班居然放录播课（其实早已有说明），IP属地为江苏，然而此次线下课程开设在浙江杭州。致敬yc51线下传奇跨省走读生。<br />
**2025.4.29部分<br />
***NAD(P)H穿梭通常产5ATP：指该选项，即模拟三第二题A，原答案为T（绷）------此题后一个选项将1.5打作1,5（1！5！）<br />
***吃毒奶粉长大的活雷锋：活雷锋讲凯氏定氮法时说自己就是喝毒奶粉长大的，认为毒奶粉还可以（因为培养出了他这位大佬）<br />
***勘误错误！原答案不变！：卷3考前考后都发了一大页勘误，活雷锋现场讲题时，说自己将MT看成了MF，当场宣布勘误错误，原答案不变<br />
***聚合酶佬卷3爆拉第二名21.8分，第四模块136.2分:卷三初稿成绩发布，前面的答案发生了移码突变，别人分数极低，但聚合酶佬成绩不受影响，第四模块还爆砍136.2分。<br />
***君子生非异也，善假于物也：禾草因为第三套卷子37原题太烂了（题目被活雷锋删掉了好几题），又觉得自己补充题目，不如北师大、动物学会，于是换成了2019联赛的T61-63组题的改编题，同时为了致敬T63，将答案设置为CD（FFTT）。<br />
***“对！（爆破）”：禾草在介绍题目来源时，说“同学们知道这道题是哪里来的吗？”“对！”“是联赛！”，说“对”时爆麦了，全场同学痛苦地捂住耳朵。<br />
***原来的线上录课，黄东旭老师说：那个，你帮我解剖一下河蚌，找一下齿舌，找到了我给你十万块钱。然后你开开心心去了解剖室，结果找一天，肉都搅烂了，“我靠，怎么没有？？？”。那么你动物学基础可能不太好。。。（主要他一本正经的。。。）<br />
***悲惨的爱情故事：PO2暗恋外周感受器，外周感受器暗恋CO2，CO2暗恋中枢感受器，中枢感受器暗恋H+（淡淡的死感～～～）<br />
***最强肝帝郝临峰2:活雷锋为了提前出卷3刊误，当天早上熬夜到凌晨三四点，导致勘误还有一些小错误。<br />
***论老板是怎么对待员工的：今天晚上听植物植生分析，植物形态是杨曲顺老师讲，哈里发特地暂停问她：看自己讲的视频是不是尴尬到脚趾抠地😅<br />
***“空降”（复制版本）：祝晨宇老师在讲分类时，先锐评2023T95是“空降知识点型题目”，并书大字“空降”，然后讲到2023T91认为也是空降型，直接把大字复制过去。<br />
***禾草PPT最下方有一行小字：普通生物禾草草<small>（也太萌…🥺</small><br />
***禾草PPT最后一页把Taiz打成了Tazi（yc传统艺能<br />
***活雷锋和神秘长发男的世纪对话：晚上上课前发生于教室大门口，两人就卷子中异常的💩含量展开激烈辩论，一方表示你居然能把这么多💩放进卷子，一方表示我已经尽力把绝对意义上的💩拦截了，活雷锋表示相对意义的💩也不能放，并说还是要怪神秘长发男。ps：目前聚合酶佬已经加入审题组，提前做卷子，并得到“绝对已经有IBO金牌实力”的评价。mol<br />
***接上条《两小儿（bushi）辩💩》详解版（雾 ：<br />
****晚饭后群u正在向禾草吐槽近日💩卷，禾草于是反向吐槽他当年（2021）在金石遇到的💩题（并且表示那个班里最终一半进队，十几位集佬，其中包括国手王麒诺🤯），然后一大摞（左手形象表达）被其扔掉继而安静看书。并且表示他的教练当年说：“再刷北斗题就把你刷没了。”<br />
****哈里发闻讯而来，一群u率先开团：“这几次卷子怎么能💩成这样！？”哈里发沉默片刻（面向禾草，猛拍桌）：“对！怎么能💩成这样！”禾草猛抬头，双手来回反复比划并向哈里发展示电脑里更💩的题，表示已经将💩到极致的题尽可能拦截，但总得给出题人留几分颜面（bushi），于是两人就审题机制与理念展开辩论。（据讨论过程可知，目前二字有七八十位命题人且每套试卷由三位审题人审三次）————>那这些💩怎么端上来的？？？<br />
****哈里发在讨论中开始诉苦：“我本来以为，一个人过来，也能轻轻松松，每天答疑半小时，还能干自己的事。结果？第一天就给我端了个啥上来。搞的这几天…我这48h只睡了大概5、6h，昨天勘误到4点。。。只睡了1h。。。”群u贴心问候郝肝帝身体状况，禾草表示没事已经应激态了（绷<br />
****哈里发哭笑不得，向禾草表示：“你是最后见过这些💩的人，那就一定不能把它们端上来。要是后面几套再有这种，我…我拿你是问！”（可爱捏）<br />
****事后禾草得知聚合酶受哈里发之邀去省题，作出了“绝对已经有IBO金牌实力”的评价。molmolmol<br />
***[[文件:禾草飞起来了.gif|缩略图|禾草飞的好快 自——星南（梁）]]模拟三神奇分数：在聚合酶爆做一晚上+审题老师双层审核后的模拟三依旧错误百出，勘误更是没把下午新改的分数加上去，导致再次引发舆论 P.S.模拟三仅考前勘误就有24项，考后勘误还有21项，甚至哈里发下午勘误讲解时表示“勘误有误”。。。。<br />
***[[文件:禾草长地里了.jpg|缩略图|禾草长地里了 自—报告基因FJX]]禾草飞得好快：晚上植生正课时突然抽风黑屏，禾草适时出现并一路飞跑开始无麦讲课。没讲几句屏幕突然好了？？？禾草只能讪讪离场。。。《屏幕黑了？禾草上了！屏幕好了？禾草下了！》<br />
***《聚合酶，等会儿去我房间》：下课后hlf邀请聚合酶再次勘误明日试卷，故当众高声呼唤（原话，确信）<br />
**2025.4.30部分<br />
***本套试卷与联赛难度接近，具有较高押题性质：指卷4有18页（附加的彩图就有6页）<br />
***《岳阳楼记》：哈里发讲解第一模块时表示维生素部分比《岳阳楼记》好背太多了。。<br />
***我不是ckm：哈里发表示虽然我不是ckm但化学还是可以的。<br />
***“74分”：哈里发在讲卷四74题时口误为74分，全场哗然（一个小插曲）<br />
***[[文件:愿程2025五一卷4T77图片.jpg|替代=卷4T77图片，明显的P图痕迹|缩略图]]第77题的P图痕迹：卷4第77题A选项，为了挖坑把原文献上的图片顺序交换，因此文献上“b”“c”等字母标识也必须交换，结果在77题的彩图上能看出“b”处有明显的P图痕迹…<br />
***聚神 启动！ ：聚合酶截至目前没有一套卷子下130。。molmolmol<br />
***《ber你真会啊》：起因是今晚正课为动物学真题研究，讲师黄东旭（群u戏称rapper，见4.27部分）就讲义上错误的联赛答案进行错误的讲解继而在官群中引发贴脸群嘲。随后哈里发将Rapper Huang拉入官群进行解释，并将此次事件轻松化解，同时透露黄师确实会rap这一惊人消息，黄师随后应众邀献丑贴上自己成名单曲网抑云链接。。。众人齐mol rapper巨佬<br />
****分享Y-E-S的单曲《未名湖畔》: <nowiki>http://163cn.tv/EsARTIO</nowiki> (来自@网易云音乐)<br />
****ps： Y-E-S 会不会是yellow eastern sunrise 的缩写？（误）<br />
**2025.5.1部分<br />
***0点时分，群u于hxx互祝节日快乐并发现本月11号即为联赛的好消息（bushi<br />
***我们至今仍未知道聚合酶到底有多巨：禾草于上课是被质疑关于卡尔文循环的某到能量代谢计算讲错，结果承认他审题是如履薄冰，专门去问了聚合酶巨佬确认<br />
***禾草的罪己诏：在讲第31题时，禾草承认，自己的审题思路有问题，为（迫）了（于）学（老）生（板）体（压）验（力），以后的审题要严谨。<br />
***31题有问题！：线上某大佬开卖说“31题有问题”，和禾草对线后才知道他糖异生没学好。<br />
***“O∧O”：ckm在讲化学键“O-O”时，鼠标颤抖，触发动作电位，画成了“O∧O”<br />
***禾草的生长周期：下午的讲解中禾草在主讲身边睡觉，从休眠到觉醒被戏称为生长周期并被发在官群里<br />
**2025.5.2部分<br />
***婚礼服（即上述的“哈里发”）下午上课投屏发现自己初中班主任和校长昵称赫然在大屏上，面色难绷（学弟彩蛋）<br />
***卡西欧里的天冬酰胺：婚礼服在教授如何妙用卡西欧进行迭代时，再次发挥传统艺能——把字母拼反，将存储键Ans拼成了天冬酰胺Asn，引得大家哄堂大笑。（笔者本人在大家笑时还没反应过来，直接愣在原地了）----------不懂就问，怎么用gaws算Asn？<br />
***“那很有水平了”“要斜体”：禾草在讲课时，想起几天前引起争议的番薯、甘薯、红薯时，说“红薯就是一个天然的转基因作物”。这时，某大佬发出了其学名Dioscorea esculenta (Lour.) Burkill，禾草看了一惊，先赞赏“那很有水平了”，接着话锋一转，“但是要斜体！我知道你腾讯会议上没法发斜体！”<br />
***禾草的实验数据：禾草出遗传题的时候，因找不到合适的三点测交数据，遂用自己的实验数据代替。<br />
**2025.5.3部分<br />
***首尾呼应：禾草在出卷7植物生理部分题目时，第一道题是细胞壁，最后一道题还是细胞壁<br />
***部分学生由于“上课期间出去乱逛”被批评，今天才知道原来是去看漫展了（事实上并没有去。真实情况是郝进水打电话来时该同学在车站并且其室友在qq空间发表路上遇到的coser的集邮。事实上两人并不知道那有漫展（不然就去了））（5.17能不能再在杭州开一次班我想看CP31ಠ_ಠ）<br />
***QQ群里，有人在感谢“最后几天学生物竞赛的日子在愿程度过”，因为太放松了…（梗也好多啊）<br />
***教学事故：刘谨豪上课时，电脑突然黑屏，关机了…其锐评是教学事故。<br />
***刘谨豪要换电脑：由于上述事故，刘怒喷其电脑：该换了<br />
***论课件一定要拷到电脑上：刘重启电脑，发现课件没了…只能就着题目讲，不过已经还好讲到论文题了（<br />
***刘老师我喜欢你：当刘谨豪老师讲完课准备离开赶火车时，群友（包括聚合酶等大佬）纷纷发消息：刘老师我喜欢你。一个哈里发混在人群中也发了这句话，被群怼并做成表情包（doge）<br />
***刘老师我爱你，超级温柔：哈里发在上述事件发生后发的<br />
***西方印记术：禾草在改题后，在题目中某处加上了“西方印记术”。讲题时，面对着一脸懵逼的同学们，禾草：这个是WB，来源于其老师。<br />
***贺建奎第二：有线上大佬咨询禾草：CCR5/CXCR4双敲会导致染色体断裂吗？<br />
***赠诗：禾草笑话刘谨豪的留言，以赠诗留念（诗的其二中还涉及三个植生知识点）<br />
***接上文，有人问禾草：你写的是平水韵还是新韵，禾草回复：可能没押，我记不住古音和格律，一般借助搜韵写平水韵，但是今天时间紧就直接口占往ppt上写了。你们当是古体诗就好，并非绝句，实在不行了当成现代诗也不是不可以()（笔者评价：都是大佬！<br />
***没有考前勘误：有同学问哈里发为什么反馈收集问卷没有他，哈里发：本来我是来摸鱼的…问卷又没有考前勘误。他让大家用掌声评价，收获巨量掌声👏！<br />
***哈里发：咱们杭州班的试卷讲解课程就到此结束了——我给大家准备了一些棒棒糖，寓意大家今年联赛向棒棒糖一样甜——（台下议论纷纷）诶等下，73、74题还没讲！大家先稍等一下！——笔者锐评：哈里发像棒棒糖一样唐！<br />
***颁奖典礼：本来文创礼盒只给前4，结果聚合酶大佬离开了，第4名不在，第5名在楼上，第7名去了植物园——奖品除了赫兹大佬外，全给了某县中（YG/LPZX）的三个人（第3、6、9名）<br />
***保留节目：有同学落下了一本《细胞生物学》和一本《生物化学原理》在酒店，舍友寻人半日无果遂放在前台，直至禾草老师退房发现此物（禾草评价：十分难绷），又过半小时后该倒霉同学才出面认领，可悲的是该同学已返程。（后续：联系了酒店快递送过去）<br />
***植物园：接上文有佬因去植物园错失奖品，次日（5.4）禾草在与上文中倒霉同学沟通时透露出了自己将要前往植物园的行程（群里同学：禾老师我看见你拖着行李箱飞奔了（）引发植物园会面（据传植物园蕨类展区门口有有奖答题，禾草老师表示虽然教植物的杨老师不在但是好在自己行李箱里有一本《周云龙》<br />
==== 猿辅导 ====<br />
<br />
* 某次在猿辅导的集训中，某位同学在学长分享学习经历的时候，觉得无聊点开小说，一不小心点开smzh（某腾讯手游）被学长点名solo。<br />
<br />
==== 质心教育 ====<br />
<br />
* O-Box GBO线下第93题原本没有图，后来寄的又有图，线上答题选不上FFFF，结果联考没结束改了题目，第1题和第93题因此被删除；T值原版没有去掉低分，之后去掉10分以下的重新计算。<br />
<br />
*最广告：指在各大平台搜索“生物竞赛”跳出来最多的是其广告，且领取一次资源需要登记信息，然后登记的手机号将会持续受到北京来电。（编者留：个人恩怨一下，质心坑我好惨ಠ_ಠ，♪没有教练的孩子像根草♪）<br />
== 生竞教师 ==<br />
<br />
=== 多领域 ===<br />
<br />
==== 朱斌 ====<br />
北京大学化学博士，参与编写《全国中学生生物学联赛试题解析》《生物竞赛专题精炼》《全国中学生生物学联赛模拟试题精选》，主要出现在猿辅导、质心教育等机构。<br />
<br />
2001国赛第1。曾就职于宝洁。自称“朱斌AKA麦子老师”/“麦子斌”，因为最喜欢的书是《麦田里的守望者》。座右铭是“有趣即正义”。是吴丛丛的丈夫。<br />
<br />
* 大亭鸟的悲伤故事：源自朱斌老师的动物行为学网课（有点抽象但讲的确实很好）。以纪录片截图连环画的形式，讲述了一只雄性大亭鸟被男娘骗的全过程。他找到一颗红色爱心以求偶，吸引来了一只眉清目秀的“雌鸟”。雄鸟春心荡漾无法自拔，不料雌鸟叼走红色爱心扬长而去，雄鸟才意识到那tm好像是小男娘。<br />
* 行为学网课补充：<s>（为什么说朱斌是神）</s>本次网课讲义中出现大量神秘图片，包括神似优酷的林檎、mrfz、<s>意义明确的</s>神秘符号等各种逆天内容（并在PDF中用其他图盖住）。另：朱斌老师家里居然为了融合课件购置了一件蓝白色窗帘（朱：“诶？”*慌忙拉窗帘*）<br />
* 朱斌老师在质心教育的生态学课，暴怒拍桌：“你们两个，滚出去！滚出去！现在！立刻！忍你好几天了！出去！（停顿）出去！下楼上去办理退费，下节课就不要出现在这里，听到没！上去办理退费，下节课再也不要来了。出去！（x2）”<br />
* 朱斌老师直播（网课/宣讲/卖课卖书）三大被动触发技能（目前观测2020~2025一直保持）：1.“同学们能看到吗，能听到声音吗？能的话刷个666。”2.“懂了的话刷个666，不懂刷个0”；3.“网卡了吗？我这边显示上传没问题啊……不卡的话刷个666，卡的话刷个0，我看看”“看来大部分人是不卡的啊，那我继续往下讲。”<br />
* 生态学网课：被同学两次提问“阿伦规律是否对***大小有效”搞到难绷。<br />
* 生态学网课补充：被耳机电击。<br />
====郭亦凡====<br />
[[文件:GYF.png|缩略图|右|郭]]出现于猿辅导，猿辅导三人小队之一。2015国集，讲的是真好。<br />
<br />
陕西特产三人之一<br />
*精通各模块内容，但最令人影响深刻的还是生化、胞生和生物统计。<br />
*酷爱除了黑色以外其他所有头发颜色，<s>不过线下课的时候头发恢复了黑色（据说是猿辅导要求）。</s>[[文件:老郭超可爱.png|缩略图|老郭可爱捏]]<br />
*目前搜集到郭亦凡的头发颜色：黑色、粉色、黄色、白色、绿色、棕色<br />
*喜爱修剪自己的头发，使用过剪刀、剃须刀等工具，不慎用剃须刀修出了一个坑洼<br />
*个人怀疑老郭掌握了【能自由变换头发颜色的魔法】<br />
*2025线下集训营顶着一头黄毛就来讲课了哈（PS：还是挑染）<br />
*曾在线下课将 F 检验的 F 值当作作用力大小，并以此出了一个文献题组。<br />
*有一只猫叫做“神威无敌大将军炮”。某次网课老郭打开视频突然发现cat在企图偷吃衣柜上的冻干，直接把它轻柔地扔床上。有一次猫上桌后赖着不走，将老郭的平板打飞了。<br />
*并且cos单子叶维管柱，莫名可爱。<br />
*SNP 之 P 大师：在 2024 年五一北京刷题班最后一节课透露自己曾经为 b 站某科普号制作视频，[https://www.bilibili.com/video/BV1jy4y1L7SV 内容是鲱鱼用<s>屁</s>（鳔中气体）传递信息]。<br />
*猴辅导有一道题，题干里的基因叫GUOYIFAN，这个基因的突变体叫GUOYIAAFAN，疑似拥有这个基因可以自由改变头发的颜色，而GUOYIAAFAN出现了剪接突变，头发的颜色只能是黑的<br />
*极端拖堂，超时15分钟是常态，30分钟是正常，2025线下营被嘲笑为“遗传速通哥”<br />
====王旭====<br />
[[文件:王旭.jpg|缩略图|王旭：？？？]]<br />
出现于猿辅导，猿辅导三人小队之一。2013国集<br />
*和另外两个比起来过于正经以至于我没有什么梗可以讲。<br />
*王旭老师对植物生理学（尤其是激素和矿质营养）有自己的理解（）<br />
*会把“卵”读成“软”。<br />
*会说：后面会有题的，对，会的。（辅以一脸阳光笑容）<br />
*“我们先来处理下上节课的遗留问题”<br />
*讲题连贯性极强以至于讲第12题回跳到15题，但真不错。<br />
*口头禅是“而下一道题主要考察的是······”两道题之间的衔接只会说这一句，被冠以“人机”之名。（口头禅还有“除此之外呢……”）<br />
*出的题目充满了“俺寻思”，以及在百度百科上找到了选项原文（Doge）<br />
==== 苗健 ====<br />
[[文件:666.png|缩略图|史前课程截获野生苗健珍贵影像.jpg]][[文件:菜就多练，红温苗健.jpg|缩略图|136x136像素|菜就多练，红温苗健]]讲授过细胞生物学、植物生理学、植物识图、生物技术、论文题等学科，主要出现在北斗学友等机构。<br />
<br />
* 喵与马：我看很多学生用的马炜梁，马炜梁错误太多了，马炜梁肯定不行。你说马炜梁有彩图，马炜梁的彩图都是手绘图重新上色的，看彩图为什么不用傅成新？你看Raven这个小麦根的全图，你在马炜梁肯定找不到。<br />
* 喵与鳖：“以前是潘，现在是王，'''第八版管叫王八'''，第九版叫王九”；在面对学生课上质问喵的题很多内容王书上没有时回答“嗯好你知道王书没用你看它干嘛呢？”<br />
* 本科毕业于北京师范大学，学习生物技术专业，硕士毕业于英国前三名帝国理工学院，获得神经科学的研究型硕士学位。<br />
* 在讲一套文献题的时候提到吃屎（其实是肠菌移植）<br />
* 曾经网课讲植物学时没睡醒边讲边打瞌睡😪<br />
* 曾在网课中间下课的空档理发<br />
*曾在上植物生理学的时候提到JOJO，但把星尘斗士的情节误记为石之海。细胞生物学的PPT上还有JOJO中角色喊出“JOJO！我突破海弗里克极限了！”的图片。<br />
*喜欢《咒术回战》，曾不断追至最新话（看的时候咒回还没完结）。<br />
*某晚课讲题：“我新冠从来没阳过，因为我题出的太阴了。”<br />
*还是某讲题课，苗哥被数次指出题干语法问题后不堪其扰，发表名言：“不要对生物老师的语文水平要求太高你们这些人！！（很显然，济南班）”（结果下一位出题老师极爱出抠字眼的题，考生破防）<br />
*NBA球迷，因为学生时代时国足不行，而NBA有姚明。<br />
*曾盯着四原型的根，寻思着“像nc的标一样”（不应该更像十字军吗（？<br />
<br />
==== 杨海明 ====<br />
[[文件:杨海明.png|缩略图|208x208像素|杨海明]]<br />
教授，讲授过动物学、生态学、动物行为学等学科，主要出现在北斗学友、汇智起航等机构。<br />
<br />
* 理论课开始会宣称会讲“流利的不懂话”，介绍“门T”=“问题”“𦬅根𦬅”=“菌根菌”，“苦欢”＝“喜欢”等抽象板书，实验操作时有自己的独特口音（小男孩）<br />
* 眼神欠佳，曾经把一位刘海比较长且戴口罩的男同学认成女生。<br />
* ↑当事人看到这条想起惨痛回忆，当即表示“啊艹你妈b的”（优美的中国话）<br />
* 克斯（kiss)<br />
* 当同学犯低级错误时，会打同学的手<br />
==== 马伟元 ====<br />
山东第二医科大学附属医院皮肤科主任，兼职副教授，讲授过生理学、细胞生物学、微生物学、动物学等学科，主要出现在北斗学友等机构。<br />
<br />
* 超绝熊二口音，喜欢把“对”说成“duai～”<br />
<br />
* 2017年3月30日， 山东大学齐鲁医院皮肤科的Shufang Wei(第一作者) & Weiyuan Ma (通讯作者 音译 马伟元) 在Biomedicine & Pharmacotherapy(中科院二区 IF=6.9)期刊上发表了一篇论文，题为'''“MiR-370 functions as oncogene in melanoma by direct targeting pyruvate dehydrogenase B”'''(MiR-370 通过直接靶向丙酮酸脱氢酶 B 发挥黑色素瘤致癌基因的功能)。图像与其他文章重复， 山东大学齐鲁医院皮肤科的论文被撤稿。<br />
* 线上上课时会在摄像头范围外查看手机但并不间断讲课，而只是语速显著变慢。<br />
* 曾在某次集训解释为什么突触小体里没有高尔基体：如果内质网仍然集中在核周围，要想完成内质网->高尔基体的囊泡转运，内质网需要先发射一个COPII，跨越长长的轴突，终于飘到高尔基体，高尔基体一看，tmd，有KDEL，还得装个COPI给发回去。<br />
* 曾提到某生竞同学因为感情问题狂炫3，5二硝基水杨酸。<br />
* 曾讲过一个关于某生竞同学持光具座扬言要杀人的故事。<br />
* 上网课问同学青霉素能否透过血脑屏障，在得到肯定的答案后认为该同学患有神经性梅毒<br />
* 曾经四月北斗班和同学们解释：“郑光美说鸵鸟25m是有依据的，你自己想：平胸总目，它平胸，所以在性选择上不占优势，长到25m:你现在“咔”一改，人家性选择优势都没了！”<br />
* 线下课时边讲课边看手机想一句话重复了两三分钟。<br />
** 其实并没有一边看手机一边想。为了避免你们指责他上课看手机，而在专心看手机的时候通过复读有限内存中的上一句话，好感动啊。<br />
** 马伟元讲课经常这样。我很难评。<br />
* 曾在讲神经是讲述自己的一个室友因为想加强自己的“头”而嗑药，结果把自己的头吃出问题了。<br />
* 依旧是某次线下课，狂炫东方树叶（一个半天炫2-3L！）（与此同时还在下课时疯狂进行正反馈）。后面也许是资金有限改炫百岁山。<br />
* 2025.7金石为开课堂上，公然声称“现在的年轻人是个洞都能进”“ATP要是不稳定化合物你直接扔给特朗普”“想自杀千万不要吃秋水仙素，微管全完蛋了死得很惨。你要是想自杀就买罐奶糖，坐在那吃齁死自己”“你要是看谁不爽就花500块钱给他买一箱蟑螂，我上学那会一个老师买蟑螂，塑料咬破了，一开箱全跑出来了”“把脚放在紫外线灯管上治脚气，结果把眼都照瞎了，灯管上还挂着他的袜子”<br />
==== 李晶 ====<br />
[[文件:李晶老师.png|缩略图|李晶]]首都师范大学副教授，讲授过生态学、生物统计学等学科，主要出现在北斗学友等机构。<br />
<br />
* 生态学极具抽象性，在课上思路清奇，在与学生意见相左时，表示我这么选是有道理的，这里就是材料未体现。<br />
* 25年北斗理论班上，突发意外，蓝牙开始抽风，三回啊三回（绝望）<br />
* 为了给学生们形象地描述机遇对策，爆出金句“国赛时间不确定”“高考时间不确定”，要“时刻准备着”，所以性成熟早。<br />
* 将狮子的性选择描述为求偶场式的。<br />
<br />
==== 祁晓廷 ====<br />
首都师范大学教授，讲授过分子生物学、生物技术、生物信息学、生物统计学等学科，主要出现在北斗学友、汇智起航等机构。<br />
<br />
* 祁老师在汇智起航集训晚课讲生信和生统题目，眼看讲不完，<s>非常松弛地</s>预警“可能讲到后半夜”，不过最终11点半就讲完了。<br />
* 同样是在前述的汇智集训，课间休息时老祁前去如厕，见卫生间人山人海，遂对挤不上厕所的男同学发表惊天言论，“如果位置不够两个同学可以脲到一个池子里”(也是在这个课间，摇匀汁同学收获了老师的手绘核糖体）<br />
* 兼职生化课，但是理解颇为独特，喜欢选取“有趣”的角度来出题。<br />
* 讲题用✔表示自己已经讲了本选项，遂使学生大崩。<br />
** 现在会写答案，但是 T 和 F （下）长得极像 : (<br />
* 喜欢把学生比作各种基因和蛋白，并称：“学生化和细胞需要用拟人的手法来学”<br />
* 会把自己讲笑<br />
* 但是某斗班上坚持H3K9Ac是基因，并表示可以利用qPCR测序。<br />
* [[文件:DFC16714-0F61-41CB-9C23-4C95D1D43842.jpg|缩略图|祁老师画的众多蛋白之一]]喜欢把蛋白质画成各种笑脸哭脸<br />
* 只穿一件外套（甚至没有背心之类的内衣，当然了，有裤子）就出去跑步。<br />
* 挑眉仙人:说话时经常单挑一边眉毛，显得十分诙谐。<br />
* 恨不得每个技术都讲讲如何学术造假<br />
* 喜欢讲春秋笔法<br />
* 曾在某次集训后当着全教室的面一展歌喉<br />
<br />
==== 张燕君 ====<br />
山东大学教授，讲授过遗传学、进化生物学等学科，主要出现在北斗学友、金石为开等机构。热衷于果蝇的胚胎发育。<br />
* 张燕君老师与2020年答案说明造成人民财产差点损失事件：2020年联赛遗传学题目北大出得十分难评，最后却一题不改，并出所谓答案说明狡辩，等火车时张老师忽闻答案说明之喜讯，细细观摩后直接气笑了，笑完后抬头一看候车口都没人了。<br />
<br />
==== 文可佳 ====<br />
<br />
*文老师的传奇师兄：众所周知，某位文老师在各处讲课时均会宣扬其师兄喝EB（兑水）的“光荣事迹”，以及其对自身神经系统的爱惜（可能有些记不到了，欢迎补充）<br />
* 文老师的传奇师兄二：某位文老师还大肆宣扬过其师兄生吃金黄色葡萄球菌培养基，而后被救护车拉走的事迹；以及其师兄在大学时培养的小鼠在地下室惨遭暴雨屠杀，遂破防的故事。<br />
<br />
==== 张斌 ====<br />
北斗学友校长，讲授过遗传学、生物统计学等学科。<br />
<br />
====韦家映====<br />
第33届IBO中国国家队队员，出现于汇智起航<br />
<br />
=== 生物化学与分子生物学 ===<br />
<br />
==== 杨荣武 ====<br />
[[文件:Screenshot 20250324 124146.jpg|缩略图|杨Sir的肌肉线条]]<br />
[[文件:杨荣武老师.jpg|缩略图|142x142像素]]<br />
南京大学教授，参与编写《生物化学原理》，主要出现在金石为开、汇智起航、北斗学友等机构。杨老师几则：<br />
<br />
* 生物化学老师分为两类：一类是杨老师，一类是非杨老师。具体情况就是杨老师与世界为敌，包括但不限于被人拿他的原理一书去给省队同学一页一页的纠错，并且认为纠错是有主观能动性的表现。<br />
* 操一口标准的南→京↘↗话↘，以及各种神秘断句<br />
* 口头禅：<br />
** 同↗学（xuè）↗们↗<br />
** ……明→白→？<br />
** 学过生化的人（顿）都（dū）知道……<br />
** 生物化学原理（情感充沛）<br />
* 再次可怜杨老师，有一次生化老师的课，课程全是朱胜庚老师的书，并且说杨老师的书笑话比较多可以看看，杨老师跟消愁一样，可怜可怜。<br />
* 某次集训期间，杨老师一天只讲了四页氨基酸的PPT被怒喷，望众知。<br />
* 还是某次集训期间，杨老师还剩分子未讲便连夜跑路，且告知众人可以去清华看298的视频课，群众怒不可遏，于是就又请了一次。<br />
* 第二次见杨老师，好吧是讲分子，讲之前踌躇满志，扬言要帮我们分析联赛生化趋势，结果最后一节课疯狂水PPT且连夜跑路，望众知。<br />
* 杨>非杨>王左：某次集训期间，调侃写某第三版生理学的王左，以及一些为了抨击杨而故意给学生传递错误观点的🤡<br />
* Yang Sir小故事之贪杯的爸爸：某次外培中，Yang Sir如是说：“不要让贪杯的爸爸知道金鱼无氧呼吸可以产生酒精……（后面记不太清楚了）”《关于贪杯的爸爸抱起鱼缸狂炫这件事》<br />
* “……，可明白？”：停顿标志。<br />
* 嘟：指都。例如，L-古洛糖酸内酯氧化酶iCat有而杨sir无，所以猫咪不必要去吃水果补充Vc，但是杨sir和大家嘟——需要……，可明白？<br />
* 当年考入省队的同学可以找 Yang Sir 免费领取一本最新版《生物化学原理》<br />
''<small>↑这话在2024年2月北斗西安刷题班也说过（特别针对高一学生），当时座中有来自陕西的火鸟，日后夺得银牌的火鸟多次在杨sir各大平台账号下催促发货，甚至派教练私信，但都石沉大海，足以见得杨老师贵人多忘事</small>''<br />
<br />
''<small>↑在杭州班听到的貌似针对的是江苏考生，虽然说江苏考生也没拿到就是了。</small>''<br />
* 知乎网友评价“我爱杨荣武！我爱他！！！我爱他！穿西装真的好涩！内八有点，可爱死了。像猫猫一样。我要嫁给杨荣武！！！”<br />
* 不知道为何，杨sir认为古核生物是伪科学，并指出自己并未看到此方面论文（同学质疑还会红温qwq）<br />
* 2025年4月1日即愚人节当天，杨Sir在“我爱生化”微信公众号发出一条名为[https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI5NTUwMTE1OA==&mid=2247490139&idx=1&sn=273772e9f654fc7a2137b3f708e08e7a&wx_header=3#:~:text=%E9%99%90%E6%97%B6%E6%8F%90%E4%BE%9B%E6%96%B0%E7%89%88%E3%80%8A%E7%94%9F%E7%89%A9%E5%8C%96%E5%AD%A6%E5%8E%9F%E7%90%86%E3%80%8BPDF%E4%B8%8B%E8%BD%BD%E9%93%BE%E6%8E%A5 “限时提供新版《生物化学原理》PDF下载链接”]的推送，同学们乍看封面大都陷入狂喜，内心盛赞杨Sir慷慨大义，殊不知看到如下正文：<br />
** '''''生化原理免费下，打开一看笑哈哈。原来是场愚人戏，节日快乐笑开花。'''''<br />
**杨Sir还是不忘他的笑哈哈。<br />
*曾经在一张考了很多分子的生化卷中考察α螺旋，给的氨基酸序列是IHATEMYSELFVERYMUCH（I Hate Myself Very Much），作者写完这道题表示我也很hate我自己（作者爆砍0.2分）。<br />
*很喜欢变形金刚。<br />
*有一只白色的猫，叫iCat。iCat经常出现在杨sir的bilibili频道“Biochemlover”中。（甚至被出在北斗25寒假某次模拟题中）<br />
<br />
==== 段志贵 ====<br />
湖南师范大学高级实验师。<br />
<br />
* 反向移液：段老师曾评价某些机构教授反向移液法，称一学生操作极为认真，R<sup>2</sup>连2个9都没有，一问原来是反向移液，让他正向移液就3个9了。<br />
* 在北斗分子生物学实验考试出题：提取口腔内变形链球菌基因组DNA，准备操作要求采集自己的唾液。于是全班同学都在吐口水。异常壮观。最后只有5位同学成功获得电泳条带，得到0个条带的同学被誉为“口腔非常健康”。<br />
* 蔗糖酶：某C姓笔者一共参加了八天的牢段的实验课，其中做了三次蔗糖酶活力有关实验。虽然这三次实验差别很大，但有一个共同点：都失败了。第一次是因为研钵没洗干净（前一个实验加了ZnSO4），重做！第二次是因为牢段的课件把稀释配比打错了，浓度高了一倍，活性爆表，重做！第三次疑似是因为研钵没洗干净？重做！<br />
<br />
==== 王林嵩 ====<br />
河南师范大学生命科学学院生化细胞教研室主任。据说在2025绵阳<s>捞完最后一笔钱</s>讲完最后一节课就<s>不霍霍大家</s>不上课了<br />
<br />
* 慈祥的奶奶，等教室开门的时候，和没看过雪的南方同学笑意温和地描述河南的雪景。<br />
* 一定会提起那个研究玉米叶片却做了玉米茎转录组，出不了结果找她诉苦的怨种研究生。<br />
* 博士研究生面试问题：如果PCR仪坏了怎么办？答：再买一个。<br />
* 马拉松：2025绵阳集训称“有一个叫马拉松的人跑了四十公里累死了，所以有了马拉松。肌肉酸痛是因为乳酸堆积，马拉松跑死人是因为乳酸酸中毒。”<br />
* 油炸胡萝卜：讲课时表示胡萝卜含有大量的维生素A，为了更好的吸收维生素A，吃胡萝卜时要泡在油里<br />
* 热力学第一定律：讲课时声称热力学第一定律是“热量从高温的地方流向低温的地方”。<br />
<br />
====== 袁均林 ======<br />
出现于北斗学友。<br />
<br />
* 口音稍重。 “偷袭辅酶”——袁均林。<br />
<br />
=== 细胞生物学 ===<br />
[[文件:邹方东.png|缩略图|o.O]]<br />
<br />
==== 邹方东 ====<br />
四川大学教授，参与编写《细胞生物学》，主要出现在金石为开、汇智起航等机构。<br />
<br />
* “讲细胞我不多讲肿瘤，因为讲了你们也听不懂。”<br />
* 大：“这题选，大”。缘由是刷题班报答案时邹老师往往要重复很多遍答案，还会让答对答错的学生举手。如果是选D，就会念选大。在后续课程中常有老师问题目选什么时，下面同学偶尔会空穴来潮一句“选大”，令人忍俊不禁。<br />
** <s>其实四川这边都这么叫 ——某四川同学</s><br />
* 古早上课时，邹老师谈及新版细胞生物学编写过程十分辛苦。细节上我们会发现，书中的确少有“引自”或“仿”，因为大部分是自己绘图和购买版权以及“惠赠/提供”。说着说着邹老师坦露出对于中国细胞生物学教材领先世界（原话）的骄傲之情。<s>但是编写的确实比较难读。</s><br />
* 曾述及读博期间条件艰苦，枪头用完要自己洗，勤勤勉勉做实验，认认真真洗枪头，日日夜夜满怀激情乐在其中。<br />
<br />
==== 刘凯于 ====<br />
[[文件:333333.png|缩略图|凯凯可爱捏]][[文件:099.jpg|缩略图|好像这个]]<br />
华中师范大学教授，主要出现在北斗学友等机构。<br />
<br />
* 外号飞机哥/开车哥，因为两次拒绝回答同学问题是的理由出奇的相似（两年都是，也许是真的）。<br />
* 口音奇妙，语速较快，题比较偏。<br />
* 据某位上过凯的课几次的同学所说，他曾添加凯的微信询问能否向他咨询一些细生的问题。得到了凯肯定的答复欣喜万分，在第二天发送问题时显示对方还不是您的好友<br />
* 两位同学在北斗学友培训实验是观察詹纳斯绿B染线粒体的口腔上皮细胞，然后刘凯于直接说那是洋葱表皮细胞，还提醒同学们“这个洋葱可能种植环境有污染，微核率很高啊”。<br />
* 说被采血针扎后针拔出来的过程非常'''愉悦'''。<br />
<br />
=== 植物学 ===<br />
<br />
==== 黎维平 ====<br />
湖南师范大学元老级教授，湖师大周畅教授和丛义艳教授的老师，参与编写《植物学》，但从未提及这本教材，主要出现在北斗学友、金石为开、汇智起航等机构。<br />
<br />
* '''黎与马：'''黎教授曾在课上多次指出马炜梁老师《植物学（第二版）》中的错误并批评，''“'''我爱他，正因为我爱他，所以我要批评他。”'''''另外，许多同学调侃道，不知多少次将马老师之大名在黎老师口中空耳成“猫娘”（doge）。<br />
* '''批判学派：'''黎教授每日上课前总要打开超绝紧凑排版的PPT列出罪证，从国外到国内再到自身展开对教材上出现的问题的深入批判，对问题没有被及时发现并解决痛心疾首，捶胸顿足，<s>以至于大汗淋漓，面色潮红</s>。<br />
* '''植物学教材质疑：'''黎教授深耕植物学教材，将若干教材矛盾浓缩成十四篇《植物学教材质疑》刊登于《生命科学研究》，并在课上公然打广告。<br />
* '''童心未泯：'''绵阳集训期间高唱花园之歌，批判“种小小的种子开小小的花”的谬误。<br />
<br />
==== 丛义艳 ====<br />
湖南师范大学副教授，黎维平教授的学生。<br />
<br />
* 如果教授比较基础的学生，让学生拿好器材后第一件事总是稀释番红。（神秘二六配比）<br />
* '''话术'''：'''“'''n多个/种“+名词；”这还不是，还有“+补充内容”<br />
* 神秘切片技巧，类似于反手快速拉锯（我反正做不出来，按自己的方法五刀一个片）<br />
* 丛老师在外一向十分礼貌，然而在师大时却松弛感拉满，话语中不时真情流露“tmd”。（其实在外心情好的时候也常真情流露）<br />
* '''“相信我，一天睡六小时死不了。”'''<br />
* 东北口音浓重，大碴子味一股一股的喷<br />
* 传奇压力王，擅长随机点同学回答问题（导致部分巨佬被盒出<br />
* 将卡共和同学携带的一种能将手机置于显微镜上拍摄的支架称为“神器”，并威胁称有神器还无法拍出好照片的会被拉出去枪毙（顺便提高了神器的销售量（原来是传奇销售<br />
* 称藕的网纹导管长得像丝袜，并邀请火鸟同学回答问题，理由为该同学“经验丰富”，火鸟遂起立称其对丝袜经验并不丰富（其实丛意思是火鸟大佬实验经验丰富mol mol mol)<br />
<br />
==== 魏来 ====<br />
北京师范大学副教授，主要出现在北斗学友等机构。<br />
<br />
是'''朱斌'''的老同学与好友<br />
<br />
曾在《中国国家地理》杂志上发过文章，研究方向疑似高山植物<br />
<br />
=== 植物生理学 ===<br />
<br />
==== 刘萍 ====<br />
主要出现在北斗学友、汇智起航、金石为开等机构。<br />
<br />
* 记忆大师：有各种奇招，如：<br />
** 光合电子传递链，PS II、Cyt b<sub>6</sub>f、PS I，（穿插着写）PQ、PC、Fd，然后补上H<sub>2</sub>O和NADP<sup>+</sup>，你用我这个方法记你一辈子忘不了。<br />
** ABC模型你就看我这个图最简单：<syntaxhighlight><br />
花萼 花冠 雄蕊 雌蕊<br />
\ / \ / \ /<br />
A B C<br />
</syntaxhighlight>——要是同学们看到更简单的图，邮箱发给我！<br />
** 与此类似还有“大就大”“引种你就记一句，其他的反着来”。<br />
* 每次都会留下邮箱，并且要求你问问题要自我介绍。<br />
* 永久问问题：表示自己愿意一直回答问题，无论到你拿国际奖牌还是上大学。<br />
* “你考场上推肯定错，背了我的口诀才不会错。”<br />
* 曾讲述过自己一次受邀到某高中讲课，该高中有一幢专门为各个竞赛准备的楼，但楼上没厕所，平常要去上厕所很麻烦，最后决定再也不去那里讲课了的故事。<br />
* “yoyoyoyo，我表达能力不行，yoyoyoyo，还是你理解能力不行，yoyoyoyo”——竞赛新说唱 来自同班另一个同学的注释：本次培训刘萍是巅峰状态，不断质疑同学们的理解能力，同时同学们有错误操作就会说“呦呦呦，呦呦呦”，被同学们称为“生竞新说唱”。得知此事后，刘萍自己都乐了。<br />
* “绝命毒师”：北斗的神奇助教在刘萍的实验课上将乙酸乙酯灌注入乙醇罐子中，导致部分同学们在用乙醇提取叶绿素出现轻微的眼睛疼痛、喉咙痛等症状。大家只好戴上口罩并打开空调和窗户努力通风。 后续报道：理论上乙酸乙酯会干扰氢氧化钾和叶绿素发生取代反应，但事实是并无影响。<br />
<br />
==== 王小菁 ====<br />
华南师范大学教授，参与编写《植物生理学》，主要出现在愿程等机构。<br />
<br />
* 神秘生物界领军者：在《植物生理学》中，王小菁老师不动声色地隐匿发表了最新成果：包括但不限于生物大分子淀汾、细胞器液胞、植物激素ZRs、ATP合酶的F<sub>0</sub>亚基。<br />
<br />
====陶宗娅====<br />
<br />
四川师范大学教授，主要出现在汇智起航等机构。<br />
<br />
* '''壮阳草：'''陶妈在讲到韭黄时一定会划重点：'''壮阳草！''' 并开始在身后的黑板绘制动作电位，仔细分析升枝和降枝，介绍西地那非，幸福咨询和幸福产业。<br />
* 后来PPT出现韭黄的照片时，同学们都很积极地抢答：'''壮阳草！'''<br />
* '''销售界辟谣一姐'''：对大宝SOD蜜推销员进行过氧化物酶知识输出，在某美妆柜台前辟谣DNA修复因子，为保健品推销员科普大豆蛋白粉与乳清蛋白粉的天壤之别，但她却曾摄入大豆异黄酮至内分泌失调，并分享某位男学生每日摄入大量豆制品身体发生的变化。<br />
* '''在植物生理PPT内夹带私货：'''分享实战经验之米国城市格局与留学攻略。<br />
* '''家庭美满：'''陶妈之子常高宠其女朋友，买名牌包包首饰，使得为母甚是吃醋。儿子与他的女朋友自驾冰岛看极光，由于八小时驾驶过于疲惫导致女朋友当晚看极光愿望落空吵架分手，吵到为母出面调解，实则次日无事和解。'''事实证明，每个傲娇女孩都该有宠她的男朋友。'''<br />
*'''两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书：'''自述读书时不仅把自己分内的事做完，还把同学们师哥师姐们不想做的事做完：“师哥你今晚好好和师姐看电影，实验我帮你们做。”于是把自己卷成了长期的“第一”，在毕业时才知道有两个男生暗恋她。<br />
*也许因这段人生经历，她称：研究生就应该让他们多做事多打杂。<br />
*作为非杨荣武老师之一，自述曾找杨荣武借过生物化学原理电子书被拒，其称保护知识产权。陶然后转向其研究生求助遂得。为了报复，que杨sir批判浙江高考题没有理解出题人意思“杨荣武教生化还行，讲植生那就不是个专家了”<br />
*'''不吃外卖：'''曾参加四川农残检测，称油麦菜农残含量高，上海青亚硝酸含量最高，因此成为了常见的外卖蔬菜。<br />
<br />
==== 史玮 ====<br />
主要出现在金石为开等机构。<br />
<br />
=== 微生物学 ===<br />
<br />
==== 洪龙 ====<br />
北京大学，经常出现在线上，主要出现在北斗学友、金石为开等机构。<br />
<br />
疑似一众圈钱教授里B格最高的。但上课略显紧张。<br />
<br />
=== 动物学 ===<br />
<br />
==== 王宝青 ====<br />
中国农业大学教授级高级实验师，参与编写《动物学》，但因全彩色价格高不推荐学生购买，主要出现在金石为开、汇智启航等机构。<br />
<br />
* 经常讲自己和学生在各地考察研究的故事，并认真地教可爱的高中生们如何发顶刊。<br />
* '''宝青买鱼：'''在金石为开授课讲起自己曾经去菜场买鱼时，指出鱼不新鲜，摊主狡辩，王老师微微一笑，曰：“你知道我是做什么的吗？”<br />
<br />
==== 姚云志 ====<br />
首都师范大学教授，参与编写《生物竞赛学习指导与同步训练（动物学）》，主要出现在北斗学友、汇智起航等机构。<br />
<br />
* 姚云志老师和他的传统文化朋友：姚老师不仅教动物学，还无偿教孙子兵法、道德经、王阳明心学。比如他曾经对学生实验考试成绩非常不满，于是讲了一个早上的孙子兵法，说要“计，势，谋”之类（我也记不清了，欢迎补充）。据说机构钱没给够就会讲“思辨”，“大人之学”等等之类。<br />
* 在北京怀柔林场悟出逍遥游中“怒而飞”的道理。（在一只学生捕捉了刚蜕皮的昆虫后）<br />
* 曾说：鸟类牙齿消失不是为了减轻体重适应飞行，因为其演化出了一个更重的肌胃。还用此作为“证据”支持自己“生物信息学不过是一种高级的游戏”“算不尽大自然<s>涮不浸大孜然</s>”的观点。后来被另一位讲脊椎动物学的老师否定（大概是头与较长的颈会形成较大的力距，所以鸟类牙齿消失确实是对飞行生活的一种适应），并被委婉批评“关于脊椎动物的问题，一些教无脊椎动物的老师的观点还是注意辨别……嗯……不要轻信……”[[文件:超级飞侠.jpg|缩略图|超级飞侠（引自知乎，侵删]]<br />
* 曾经把二元对立的西方哲学思想和高等与低等物种区分联系在一起狠狠批判，把中国传统道家哲学和进化联系在一起狠狠赞美（帮我补充下qwq）<br />
* 曾自述在美国期间每天把五颗花生放在茶几上，做完了当天的事情就在晚上吃掉他们；在每个周日如果做完了事情就会去钓鱼。<br />
*曾经让同学们十六岁以下的举手并说不应该来上课，说大家以前学的都是“小子之学”，并驳斥了一阵同学们学的如同盲人摸象（每次讲课PPT第一页必是新盲人摸象）<br />
==== 邓学建 ====<br />
<br />
湖南师范大学教授，主讲脊椎动物学和动物行为学。<br />
<br />
* 超级飞侠：给学生讲授鱼类有四个鼻孔时的绘图，绝类超级飞侠。<br />
* 给学生上课时讲述自己曾受某档节目邀请，该节目主持人询问他某国家一级保护动物能否食用。邓教授从法律层面认真回答了该问题，没想到遭到了恶意剪辑，只留下了一句“可以吃”。<br />
==== 周青春 ====<br />
<br />
华中师范大学副教授，毕业于德国维尔茨堡大学。主讲省一流本科课程《动物学》，以及《动物学实验》、《生物信息学》和《现代科学技术与方法》等。刷新在北斗学友。是男老师。并不青春。题目类似语文题。长得神似王祖蓝。<br />
<br />
* [[文件:8B3DFFD2-245E-4272-AB50-D0E6282A0021-3403-000001BAAA34BFE9.jpg|替代=第六对鳃弓|缩略图|第六对鳃弓]]格陵兰事变：声称微颚动物发现于格陵兰岛淡水环境是错误的，因为是格陵兰北部泉水。<br />
* 第六对鳃弓：“我曾在一本书上看见……”实际上这本书来自1977年，并宣称自己对一些新的教材（比解，2008）不太了解。<br />
* 宣称比解不是主流教材来掩盖题目知识性错误。<br />
* 坚持认为鸟类无膀胱的生物学意义包含“排泄物为尿酸”“减少水分流失”，同学们表示不解。<br />
* 解析里出现了形似* *占位符123* *的双引号模式，疑似使用AI跑解析<br />
* 宣称单孔类不是哺乳类主要类群，所有哺乳类没有泄殖腔<br />
* 坚信第四咽弓是第四鳃弓，忽略颌弓。<br />
* 某搜狐上的采访：学生的《良好反响》和《明显进步》让周老师自我感觉良好。（个人认为缺少两个引号和一个自我）<br />
* 马氏管之谜：某神秘测试中声称昆虫马氏管来源中胚层。<br />
* 神秘硬骨鱼：声称硬骨鱼的鳔不能辅助听觉，原因是声音通过过其他器官也能传。<br />
* 听力大师：讲题前会先让学生念答案，结果总是听不清学生念什么，并指责其顺序颠倒。<br />
* 基因公敌：声称基因编辑全部都是基因敲除，是学术界的人胡扯才有别的含义。<br />
* 进化先驱：宣称只要结构来自同一胚层即为同源结构（即外胚层来源的就是同源器官）<br />
* 怒不可遏：“对，就是你，举手的旁边那个，给我出去，你不出去我就不讲了！把你们班主任叫过来，这课我不上了！”<br />
* 演化大师：说哺乳动物膈肌是全新的起源 与之前的肌肉毫无关系，环节动物体腔液与脊椎动物淋巴液同源，马氏管和后肾管同源，鳃篮来自外胚层等等<br />
* 关心时事：讲到头足纲运动时，说烧烤摊上看不到鱿鱼圈是因为鱿鱼圈都出口了，国内人又舍不得丢弃鱿鱼须遂烤鱿鱼须吃。然后感慨现在出口不了了（因为中美关税战）。<br />
* 语文大师：选项“外骨骼主要成分为几丁质，内骨骼为钙质”错误的原因是内骨骼没写主要成分。<br />
* “小众”：动物学刷题班中考察“分层式视网膜”、“完全无血管化视网膜”、“环口动物”等等书上都见不到的知识点，并且此类题会在试卷中占比达到30%以上，讲的时候还说考的比较小众。（那你出这些题的意义是啥呢）<br />
<br />
==== 贺秉军 ====<br />
南开大学副教授。<br />
* 寄生虫大王：每次讲到扁形动物就会恶趣味地播放大量寄生虫图片以及视频帮助同学们“下饭”。<br />
* “脑残”：最喜欢的一句话：“故脑残者，无药可医也”（网传出自李时珍《本草纲目》，后证实系网友恶搞），并说不叠被子的就是脑残。<br />
<br />
==== 吴娣 ====<br />
南昌大学博士，实验师，讲授过解剖学、组织学和胚胎学，主要出现在北斗学友等机构。<br />
<br />
<br />
==== 赵晶 ====<br />
山东大学教授，讲授无脊椎动物学，在启轩嘉远、北斗出现过。<br />
<br />
* 曾是马wy的老师。（马wy本人所说）<br />
* 据mwy说赵晶曾经专门研究脊椎动物，花了三十年每天乘坐骡子（mwy以及其同学锐评：老师您那么胖不会把骡子坐挎吗）前往田地里抓田鼠以研究田鼠种群波动，最后论文标题《从混沌学看田鼠种群波动》—即田鼠种群波动无规律。<br />
* 讲义上内容过于丰富以致于讲课基本一直念PPT，不知该表扬还是批评。<br />
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=== 生理学 ===<br />
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==== 廖晓梅 ====<br />
华中师范大学副教授，主要出现在北斗学友、金石为开等机构。<br />
* 大出血女王，在授课时最喜欢举的例子就是大出血。<br />
* “想一想，如果一个人大出血，器官的供血量怎么变化？”“……不错，那换一下条件，如果这个人正在大出血呢？”<br />
* 口癖是“您老人家”“他老人家”<br />
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==== 张铭 ====<br />
曾出现在北斗学友。<br />
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=== 生态学 ===<br />
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==== 刘家武 ====<br />
主要出现在金石为开、汇智启航等机构。<br />
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* P<0.05不显著：某四字机构刷题班中，遭到学生质疑数据已标P<0.05（原数据好像是0.04几），因此某个选项应该选，其答曰：我怕误导你们，其实现在P<0.05已经不代表显著了。此外，还有一次发的试卷上许多正确答案都标了浅色，因此整体分数格外高。<br />
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==== 张洪茂 ====<br />
华中师范大学教授，主讲生态学，动物行为学，<s>金丝猴社会学</s>主要出现在汇智启航等机构。<br />
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* 由于名字人称小红帽。<br />
* 讲课前会声称自己普通话不好，大家一听就知道自己是哪里人。<br />
* 但同时会说自己英语很好 <s>也许吧</s><br />
* 上课尤其喜欢举各种“突破性进展”，包括但不限于青藏高原从大到小各种动物的适应机理，北极游隼的超级迁徙，大熊猫的各种神秘习性等。<br />
* '''金丝猴''' 无论走到哪里到哪讲课都会摆出一张金丝猴社会的关系图，并且以后宫剧的形式展示猴群社会的千姿百态。有勃勃生机万物竟发之感。<br />
* '''高原鼠兔惨案''' 来自某z同学的惨痛记忆：小红帽上课声明鼠兔不冬眠，某次考试选项中出现“高原小型哺乳动物（如鼠兔）冬眠”，z同学遂选F。后来红帽讲题时认为题目重点为“高原小型哺乳动物”，应该选T。<br />
* 第二次遇到此题目，z同学果断选T，答案却为F。红帽解释：“高原小型哺乳动物存不下能量，冬眠就似。”<br />
* 第三次在某李姓教授的课上再次遇到本题，z同学果断选F，答案却为T。教授解释：“总会有小型哺乳动物冬眠的。”<br />
* 最难绷的是三次的题目完全一样。<br />
* 有趣的是，这道三杀题的出题权正在被李姓教授与红帽抢夺 <s>红帽：我是一个害怕网豹的教授，不要把我的课件发到网上，我怕被骂</s><br />
* 上课喜欢拿NBA举例子，是哈登和詹姆斯的球迷（笑点解析：哈登球迷和詹姆斯球迷曾一度吵得很厉害（不过现在所有球星的球迷都吵得很厉害——某不愿透露姓名的帅哥）<br />
* 济南寒假班时曾称：群落中的物种是互相“功能适应的”（年代久远好像是这样说的）。并以勇士队创造小球时代和篮网队曾有多名球星却无冠举例，但随后补充：勇士现在也不太行了<br />
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=== 遗传学 ===<br />
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==== 周畅 ====<br />
湖南师范大学教授。<br />
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* 周畅老师集训时曾给学生讲述一种长着兔耳朵的神秘生物[https://v.douyin.com/vJUlHwbRHOE/ 鼂（cháo）鸭]，被学生指正系AI合成时仍笑而不语，并发表“搞宏观的人很厉害的你们不要不相信”之暴论。被每个视频都是AI合成神奇生物的主包骗的团团转。（张辰亮救一下啊）<br />
* “倒反天罡”：在周畅的宏观生物学世界里，蝗虫的足的末端是基节——基、转、腿、胫、跗、前跗分别对应前跗节的中垫、1~3跗节、胫节、腿节。由于PPT上的足正好没有了转节和基节，而蝗虫的跗节式又是3-3-3，所以她并没有发现问题的严重性。<br />
* “移花接木”：周畅在教大家观察大葱花药细胞减数分裂时多次提醒大家要把颖片剥干净——可能是平时用玉米花药更多吧。<br />
* P. S. 周畅自己说过自己的植物学知识和动物学知识已经还给老师了（植物学是还给黎维平了）。<br />
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* '''暴雨夜'''：记得周畅老师来校讲课时正是当年下第一场暴雨的时候，最后一天由于她急着赶次日的高铁于是晚修上课。<br />
** 还是ling的学姐，在吃完晚饭后回教室的路上用伞铲回来一只拳头大小的青（ha）蛙（ma），并装进快递纸盒里向同学们巡展。ling很开心地在垃圾桶里翻出一升装大矿泉水瓶子，剪开个盖，把它撂了进去。周老师走进教室，兴奋不已的同学们把瓶子里的青蛙放到讲台上展示给她看，遗传学课程截胡为动物学。'''<s>若没记错的话，周老师坦言：其实我动物学已经还给老师了。</s>'''<br />
** 课程还未开始，老师直呼把青蛙放下去，'''于是同学们为它挑选了一个靠边的位置一起学习遗传学课程。'''<br />
** 等待良久，仍有一位男同学未抵达教室，<s>大家打趣：不会他变成青蛙了吧？青！蛙！王！子！需要公主的吻才能变成原型！谁知身后三两个女生轻轻起哄，一回头，发现其中一个女生羞涩地低着头。</s><br />
** 南方的同学们一定知道暴雨夜是白蚁的狂欢夜，潮湿闷热的雨夜，白蚁会展开生物危机级的婚飞交配，落地断翅，且有着叹为观止的精准趋光性，人类想要生存的话最好将门窗封死。就在那个暴雨夜，ling目睹了她短短15年人生中最恐怖的白蚁婚飞现场，平均翅展五厘米状如蜻蜓的白蚁黑压压地乱飞，地上泥泞着密密麻麻的白蚁尸体，路边忽然出现了异常多的两栖类无尾目动物（所以学姐能用雨伞铲回来青蛙），人走一圈身上落满翅片和虫体，行驶的小车，车头车灯都会糊上一堆白蚁。课上一半，偌大的报告厅不知道哪扇窗关不紧，硕大的白蚁乘虚而入绕灯乱飞。'''师生惊恐暂停讲课，一起参与人蚁之战，打下的奄奄一息的白蚁都异想天开地喂到了装着青蛙同学的大矿泉水瓶子里。'''一开始大家怕青蛙对静止的物体不敏感，无法看见扔进去的白蚁，但喂多了竟然还真吃了几口。一个晚上上课打白蚁就暂停了两三回。<br />
** 那只青蛙被囚禁了两三天，看起来无精打采。剩下的白蚁它一概不吃，开始腐烂。ling和学姐小心翼翼地把它倒在花园地砖上，它试探了两步，几下就跳进草丛里不见了。<br />
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* 一般上课周畅老师一定会强调[https://baike.baidu.com/item/%E6%B9%98%E4%BA%91%E9%B2%AB/6968146 湘云鲫]，一种三倍体鲫鱼，因为湖南师范大学有一个淡水鱼重点基地。没错就是湖师大实验班这里（）<br />
* 某次线下课由于事故频发，全程爆出不下十次“我从来没遇到过这种情况”（带有浓厚湖南口音）。<br />
* 称麻醉果蝇不能倒太多麻醉剂，否则果蝇就会在其中swimming，很快就会game over。<br />
* 跟上一条同一节课，称残翅果蝇的培养基不能太稀，否则果蝇都来不及swimming，直接over（淹死）了。<br />
* 跟上一条还是同一节课，周老师提问为何果蝇培养基要加丙酸，一同学回答调味（实际上是为了防止长霉）<br />
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=== 进化生物学 ===<br />
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==== 杨继轩 ====<br />
北京大学博士，主要出现在北斗学友等机构。是顾红雅老师的学生。<br />
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* 经典语录：这是北大当年的考研题……顾老师就非常喜欢……<br />
* 可以连续讲3个小时没有课间休息，年轻真好啊<br />
* 贺建奎忠实粉丝，几乎次次讲到基因编辑技术都提😳😳<br />
* NBA球迷，在讲AIDS时曾提到魔术师约翰逊。<br />
* 每次讲课喜欢介绍一大堆生物竞赛学生可能不了解但是很知名的中国科学家（本人怀疑疑似炫耀北大的人际关系）。疑似钟扬老师粉丝，每次讲课必提并且要在钟扬老师的名字上画框。<br />
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=== 生物信息学 ===<br />
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==== 万平 ====<br />
首都师范大学，主要出现在北斗学友等机构。<br />
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* 讲课时使用Notion网站，讲的很清晰。<br />
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==== 李浩 ====<br />
主要出现在金石为开等机构。<br />
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=== 生物统计学 ===<br />
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== 生竞历史 ==<br />
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=== 试题变化 ===<br />
# 2010年，全国中学生生物学联赛试题按学科分类，单选与多选混排，每小题只标明分值，分值不代表是否为多选，是否多选要从题干中判断。<br />
# 2020年，全国中学生生物学联赛试题分AB卷。<br />
# 2022年，全国中学生生物学联赛试题出现加赛，原卷模块改变。<br />
# 2024年，全国中学生生物学竞赛理论试题使用不定项，考试时间180分钟。<br />
# 2025年，全国中学生生物学联赛试题使用不定项，考试时间150分钟。<br />
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=== 书籍出版 ===<br />
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# 2025年，杨荣武. 生物化学原理. 4版. 北京：高等教育出版社出版。<br />
# 2024年，人民卫生出版社全国高等学校五年制本科临床医学专业第十轮规划教材出版。<br />
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== 配套练习 ==<br />
[[共同出题（旨在收集平时散出的题，你要是喜欢也可以泡在这里出题）]]</div>
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