生理学计算汇总 - 版本历史

一条荧光原位杂交：/* PNP模型 */

2026-04-27T01:42:51Z

PNP模型

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第360行：		第360行：
	# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。		# 对流通量（<math>\vec{J}_{i,conv}</math>）对流是指离子随溶液本身的宏观流动而发生的整体移动，此时有<math>\vec{J}_{i,conv}=C_i\vec{v}</math>其中v是流体平均速度。
	# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math>		# 将以上三个通量分量相加，立得能斯特-普朗克方程：<math>\vec{J_i}=-D_i\nabla C_i-{\!z_i\!F\over\!RT}D_iC_i\nabla\Phi+C_i\vec{v}</math>

	~~==== PNP模型 ====~~

	===== 电势泊松方程 =====		===== 电势泊松方程 =====

2026年4月25日 (六) 02:33 Upupa lavandulae

2026-04-25T02:33:48Z

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第1行：		第1行：
	虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事		虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事''<small>（不是考了吗？）</small>''

	（生理还是要用goldman）		（生理还是要用goldman）

2026年4月8日 (三) 10:01 武汉正宗糖三角

2026-04-08T10:01:52Z

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第310行：		第310行：
	为了方便推导，我们简记 <math>\rho</math>为<math>C\exp(\varpi)</math>。对于式(2.8)，从0积分到δ，方程左侧:		为了方便推导，我们简记 <math>\rho</math>为<math>C\exp(\varpi)</math>。对于式(2.8)，从0积分到δ，方程左侧:

	<math>LHS=\int^{\delta}_{0}-J\exp(\varpi\phi)dx~~= x~~=-\int^{\delta}_{0}J\exp(\varpi(\phi_\operatorname{i}-{\!E_m\over\delta}))dx</math>		<math>LHS=\int^{\delta}_{0}-J\exp(\varpi\phi)dx =-\int^{\delta}_{0}J\exp(\varpi(\phi_\operatorname{i}-{\!E_m\over\delta}x))dx</math>

	稳态时，J是恒定的，于是：		稳态时，J是恒定的，于是：

	<math>LHS=-J\exp(\varpi\phi_\operatorname{i})\int^{\delta}_{0}\exp(-\varpi{\!E_m\over\delta})dx=\left.\!J\exp(\varpi\phi_i){\delta\over\!E_m\varpi}\cdot\!J\exp(-\varpi{\!E_m\over\delta}))\right\|^\delta_0=</math>		<math>LHS=-J\exp(\varpi\phi_\operatorname{i})\int^{\delta}_{0}\exp(-\varpi{\!E_m\over\delta}x)dx=\left.\!J\exp(\varpi\phi_i){\delta\over\!E_m\varpi}\cdot\!J\exp(-\varpi{\!E_m\over\delta}x))\right\|^\delta_0=</math>

	=== 弦电导方程：线性电阻模型 ===		=== 弦电导方程：线性电阻模型 ===

2026年4月3日 (五) 00:47 武汉正宗糖三角

2026-04-03T00:47:17Z

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第314行：		第314行：
	稳态时，J是恒定的，于是：		稳态时，J是恒定的，于是：

	(<s>~~懒得写了~~</s>~~晚上再写）~~		<math>LHS=-J\exp(\varpi\phi_\operatorname{i})\int^{\delta}_{0}\exp(-\varpi{\!E_m\over\delta})dx=\left.\!J\exp(\varpi\phi_i){\delta\over\!E_m\varpi}\cdot\!J\exp(-\varpi{\!E_m\over\delta}))\right\|^\delta_0=</math>

	=== 弦电导方程：线性电阻模型 ===		=== 弦电导方程：线性电阻模型 ===

武汉正宗糖三角：/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

2026-04-02T07:24:50Z

能斯特方程：电化学势平衡

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第292行：		第292行：
	<math>\left({1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}={F\!z\over\!R\!T}{\partial \phi\over\partial x}\right)_X</math>		<math>\left({1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}={F\!z\over\!R\!T}{\partial \phi\over\partial x}\right)_X</math>

	~~很容易求出其通解为:~~		很容易求出其通解为：

	<math>\rho=\!Ce^{{\!zF\over\!R\!T}\phi}</math>,C=const		<math>\rho=\!Ce^{{\!zF\over\!R\!T}\phi}</math>,C=const

2026年4月2日 (四) 07:24 武汉正宗糖三角

2026-04-02T07:24:05Z

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第282行：		第282行：
	所以我们也可以想象 J 能写作一个乘积的导数。我们在式(2.1)两侧同时乘上一个因子 <math>-\rho/D</math> ，假设乘上<math>-\rho/D </math> 后，原式就是全微分了：		所以我们也可以想象 J 能写作一个乘积的导数。我们在式(2.1)两侧同时乘上一个因子 <math>-\rho/D</math> ，假设乘上<math>-\rho/D </math> 后，原式就是全微分了：

	<math>(-\dfrac{J\rho}{D}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+\dfrac{\rho}{RT}\cdot cZF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x})_X</math>		<math>\left(-\dfrac{J\rho}{D}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+\dfrac{\rho}{RT}\cdot cZF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}\right)_X</math>

	同时，		同时，

	<math>\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}</math>		<math>\left(\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}\right)_X</math>

	得到：		得到：

	<math>{1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}=</math>		<math>\left({1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}={F\!z\over\!R\!T}{\partial \phi\over\partial x}\right)_X</math>

	~~(没时间写了）~~		很容易求出其通解为:

	===弦电导方程：线性电阻模型===		<math>\rho=\!Ce^{{\!zF\over\!R\!T}\phi}</math>,C=const

			将其代回<math>\left(-\dfrac{J\rho}{D}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+\dfrac{\rho}{RT}\cdot cZF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}\right)_X</math>，得到:

			<math>J\!Ce^{{\!zF\over\!R\!T}\phi}dx=-Dd[c\cdot\exp(zF\phi/RT)]</math>

			这是一个看上去不复杂的常微分方程。等式右边是常数乘以全微分，等式左边的系数中有个非常数<math>\phi</math>，如果我们假设电场强度是'''恒定的（constant field assumption）'''，那么电位<math>\phi</math>便是线性变化的，这就方便积分了。在此之前，我们先建立一个一维坐标系，膜内侧边缘是零点，坐标轴指向膜外，假定膜厚度是<math>\delta</math>，膜外侧边缘的坐标也是<math>\delta</math> 。则有:

			<math>\phi(0)=\phi_i,\phi(\delta)=\phi_o</math>

			于是可以得到线性分布的电位：

			<math>\phi=\phi_\operatorname{i}-{\!E_m\over\delta}x</math>

			为了方便推导，我们简记 <math>\rho</math>为<math>C\exp(\varpi)</math>。对于式(2.8)，从0积分到δ，方程左侧:

			<math>LHS=\int^{\delta}_{0}-J\exp(\varpi\phi)dx= x=-\int^{\delta}_{0}J\exp(\varpi(\phi_\operatorname{i}-{\!E_m\over\delta}))dx</math>

			稳态时，J是恒定的，于是：

			(<s>懒得写了</s>晚上再写）

			=== 弦电导方程：线性电阻模型 ===
	根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:		根据平衡电位的物理意义，当膜电位 <math>E_m</math> 等于某离子的平衡电位 <math>E_X</math> 时，离子流动的通量就为零了。因此，膜电位与离子平衡电位的差值 <math>E_m-E_X</math> 是离子流动的推动力。离子顺着电势差流动形成电流，所以很容易想到，该离子流动贡献的电流与推动力之间的关系是（记外向电流为正）:

2026年4月1日 (三) 02:55 武汉正宗糖三角

2026-04-01T02:55:08Z

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第290行：		第290行：
	得到：		得到：

	<math>{1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}=</math>(没时间写了）		<math>{1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}=</math>

			(没时间写了）

	===弦电导方程：线性电阻模型===		===弦电导方程：线性电阻模型===

武汉正宗糖三角：/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

2026-04-01T02:54:54Z

能斯特方程：电化学势平衡

←上一版本		2026年4月1日 (三) 10:54的版本
第264行：		第264行：
	===能斯特方程：电化学势平衡===		===能斯特方程：电化学势平衡===

			能斯特与GHK方程的推导稍微有点麻烦，而且需要一些数学技巧。因为（参见'''能斯特-普朗克方程）'''由浓度梯度和电场力引起的离子流动的总通量是：

	~~还是根据稳态时电流~~ I_X 之和为零，那么电流密度 j_X 之和也为零。而电流密度和离子的通量之间的关系是		<math>\vec{J_X}=-D_X\nabla C_X-{\!z_X\!F\over\!RT}D_XC_X\nabla\Phi</math>

			在一维情形下，每一个梯度算子都会变成一维算子从而变为标准偏导数。还是根据稳态时电流 I_X 之和为零，那么电流密度 j_X 之和也为零。而电流密度和离子的通量之间的关系是

	<math>j_X=J_X Z_XF</math>		<math>j_X=J_X Z_XF</math>
第273行：		第276行：
	<math>\sum j_X=\sum Z_X\!FJ_X=\sum Z_XF\left(-D_X\dfrac{\partial C_X}{\partial x}-\dfrac{D_X}{RT}\cdot C_XZ_XF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\right)=0</math>		<math>\sum j_X=\sum Z_X\!FJ_X=\sum Z_XF\left(-D_X\dfrac{\partial C_X}{\partial x}-\dfrac{D_X}{RT}\cdot C_XZ_XF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\right)=0</math>

	~~我们要得到的是膜电位，但这边有一堆浓度的导数和电位的导数，这可不行，必须积分。但积分又有一个难点，就是括号里面第二项有个未知量~~ c 和电位梯度耦合在了一块，这就难搞了。这就需要动用一个数学小技巧。我们观察到括号部分（也即 J<sub>X</sub>）第一项是浓度梯度，第二项中浓度本身作为因子而出现，这像什么呢，是不是很像乘积的求导法则：		这边有一堆浓度的导数和电位的导数，这可不行，必须积分。但积分又有一个难点，就是括号里面第二项有个未知量 c 和电位梯度耦合在了一块，这就难搞了。这就需要动用一个数学小技巧。我们观察到括号部分（也即 J<sub>X</sub>）第一项是浓度梯度，第二项中浓度本身作为因子而出现，这像什么呢，是不是很像乘积的求导法则：

	<math>\dfrac{\mathrm{d}(mn)}{\mathrm{d}x}=m\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}+n\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}</math>		<math>\dfrac{\mathrm{d}(mn)}{\mathrm{d}x}=m\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}+n\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}</math>
第284行：		第287行：

	<math>\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}</math>		<math>\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}</math>

			得到：

			<math>{1\over\rho}{\partial \rho\over\partial x}=</math>(没时间写了）

	===弦电导方程：线性电阻模型===		===弦电导方程：线性电阻模型===

2026年4月1日 (三) 02:42 武汉正宗糖三角

2026-04-01T02:42:59Z

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第273行：		第273行：
	<math>\sum j_X=\sum Z_X\!FJ_X=\sum Z_XF\left(-D_X\dfrac{\partial C_X}{\partial x}-\dfrac{D_X}{RT}\cdot C_XZ_XF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\right)=0</math>		<math>\sum j_X=\sum Z_X\!FJ_X=\sum Z_XF\left(-D_X\dfrac{\partial C_X}{\partial x}-\dfrac{D_X}{RT}\cdot C_XZ_XF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\right)=0</math>

	我们要得到的是膜电位，但这边有一堆浓度的导数和电位的导数，这可不行，必须积分。但积分又有一个难点，就是括号里面第二项有个未知量 c 和电位梯度耦合在了一块，这就难搞了。这就需要动用一个数学小技巧。我们观察到括号部分（也即 ~~J_X）第一项是浓度梯度，第二项中浓度本身作为因子而出现，这像什么呢，是不是很像乘积的求导法则：~~		我们要得到的是膜电位，但这边有一堆浓度的导数和电位的导数，这可不行，必须积分。但积分又有一个难点，就是括号里面第二项有个未知量 c 和电位梯度耦合在了一块，这就难搞了。这就需要动用一个数学小技巧。我们观察到括号部分（也即 J<sub>X</sub>）第一项是浓度梯度，第二项中浓度本身作为因子而出现，这像什么呢，是不是很像乘积的求导法则：

	\dfrac{\mathrm{d}(mn)}{\mathrm{d}x}=m\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}+n\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}~~. \\~~		<math>\dfrac{\mathrm{d}(mn)}{\mathrm{d}x}=m\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}+n\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}</math>

	所以我们也可以想象 J 能写作一个乘积的导数。我们在式(2.1)两侧同时乘上一个因子 -\rho/D ，假设乘上 -\rho/D ~~后，-J\rho~~/~~D 就是全微分了：~~		所以我们也可以想象 J 能写作一个乘积的导数。我们在式(2.1)两侧同时乘上一个因子 <math>-\rho/D</math> ，假设乘上<math>-\rho/D </math> 后，原式就是全微分了：

	-\dfrac{J\rho}{D}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+\dfrac{\rho}{RT}\cdot ~~cZ\mathfrak{F}~~\dfrac{\partial \~~varphi~~}{\partial x}=\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}~~.\tag{2.4}~~		<math>(-\dfrac{J\rho}{D}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+\dfrac{\rho}{RT}\cdot cZF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x})_X</math>

	同时，		同时，

	\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}~~.\tag{2.5}~~		<math>\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}</math>

	===弦电导方程：线性电阻模型===		===弦电导方程：线性电阻模型===

武汉正宗糖三角：/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

2026-04-01T02:34:58Z

能斯特方程：电化学势平衡

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第263行：		第263行：

	===能斯特方程：电化学势平衡===		===能斯特方程：电化学势平衡===


			还是根据稳态时电流 I_X 之和为零，那么电流密度 j_X 之和也为零。而电流密度和离子的通量之间的关系是

			<math>j_X=J_X Z_XF</math>

			所以

			<math>\sum j_X=\sum Z_X\!FJ_X=\sum Z_XF\left(-D_X\dfrac{\partial C_X}{\partial x}-\dfrac{D_X}{RT}\cdot C_XZ_XF\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\right)=0</math>

			我们要得到的是膜电位，但这边有一堆浓度的导数和电位的导数，这可不行，必须积分。但积分又有一个难点，就是括号里面第二项有个未知量 c 和电位梯度耦合在了一块，这就难搞了。这就需要动用一个数学小技巧。我们观察到括号部分（也即 J_X）第一项是浓度梯度，第二项中浓度本身作为因子而出现，这像什么呢，是不是很像乘积的求导法则：

			\dfrac{\mathrm{d}(mn)}{\mathrm{d}x}=m\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}+n\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}. \\

			所以我们也可以想象 J 能写作一个乘积的导数。我们在式(2.1)两侧同时乘上一个因子 -\rho/D ，假设乘上 -\rho/D 后，-J\rho/D 就是全微分了：

			-\dfrac{J\rho}{D}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+\dfrac{\rho}{RT}\cdot cZ\mathfrak{F}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}.\tag{2.4}

			同时，

			\dfrac{\mathrm{d}(\rho c)}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{\partial c}{\partial x}+c\dfrac{\partial \rho}{\partial x}.\tag{2.5}

	===弦电导方程：线性电阻模型===		===弦电导方程：线性电阻模型===

生理学计算汇总 - 版本历史

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2026年4月25日 (六) 02:33 Upupa lavandulae

2026年4月8日 (三) 10:01 武汉正宗糖三角

2026年4月3日 (五) 00:47 武汉正宗糖三角

武汉正宗糖三角：​/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

2026年4月2日 (四) 07:24 武汉正宗糖三角

2026年4月1日 (三) 02:55 武汉正宗糖三角

武汉正宗糖三角：​/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

2026年4月1日 (三) 02:42 武汉正宗糖三角

武汉正宗糖三角：​/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

一条荧光原位杂交：/* PNP模型 */

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武汉正宗糖三角：/* 能斯特方程：电化学势平衡 */

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