生态学数学模型小汇总

有效积温法则

变温动物发育速度随环境温度增高而加快，因此可以应用范霍夫定律（温度每升高10℃，化学过程的速率即加快2~3倍）描述变温动物发育速度与温度的关系（主要应用于昆虫）

K=N(T-C)

K为热常数/总积温/有效积温，即完成某一发育阶段所需要的总热量（对于某一物种为常数），单位“日度”；

N为发育历期，即完成某一发育阶段所需要的天数；

T为发育期的平均温度；C为发育起点温度，即生物学零度（对于某一物种为常数）：故T-C为有效温度

若在两次平均温度分别为（T₁，T₂）的实验中测得（N₁，N₂），由于K对于一物种是常数，得N₁(T₁-C)=N₂(T₂-C)，变换得C=(N₂T₂-N₁T₁)/(N₂-N₁)

在得到某物种的热常数K后，便能通过某地一段时间的有效积温（这个“有效”也是针对该物种而言的），求出当地这段时间内该物种可能发生的世代数=K_{某地一段时间的有效积温}/K_{物种热常数}

有效积温法则是以发育速度与温度呈线性关系为前提的，故该法也称双曲线法；但显然在有效温度的高温区实际发育速度将低于预测值，低温区实际发育速度将高于预测值，故发育速度与温度间更确切的关系应呈S型，故可以用逻辑斯蒂方程等代替进行拟合

生命表

基础款为动态生命表、静态生命表，还有综合生命表、图解生命表等。

动态生命表与静态生命表难以直接从表上区分，因为静态生命表实质上是用当前的种群年龄分布对一个同生群的动态生命过程（每个年龄组的死亡率）作的估计。可以说静态生命表是种群动态（动态生命表）难以观测得到时的替代方案。

数据：

x：龄期

n_x：某一龄级的存活数

l_x：某一龄级的存活率，n_x/n₀

d_x：某一龄级的死亡数，n_x-n_x+1

q_x：某一龄级的死亡率，d_x/n_x=1- n_x+1/n_x

L_x：某一同生群从x龄级到x+1龄级区间内存活的动物龄数（若人口统计，则单位常为“人年数”），为所有存活个体贡献的“存活时间”总和，用于计算总动物龄数T_x。按这个定义，由于x龄级的n_x个个体会在[x,x+1)区间内死亡（注意统计的时间点是离散的，但个体的死亡分布在其中，量够大时可看作连续），L_x应为[x,x+1)内n_x的积分。若简单地将死亡看作均匀分布，则L_x=(n_x+n_x+1)/2

T_x：某一同生群从x龄级到死亡的动物龄数，ΣL_x

e_x：某一龄级的生命期望，即预期还能活几龄期，T_x/n_x

综合生命表加入了增长率：

特定年龄出生率m_x：平均每个雌体的产雌率

该动物存活到某一龄级并留下后代个数的期望l_xm_x（其中R0=Σl_xm_x即该动物一生能留下后代个数的期望）

种群增长模型

莱斯利（Leslie）矩阵：具年龄结构的种群增长模型

每个具有年龄结构的投影矩阵中，只有描述年存活率的对角线元素以及描述出生率的首行元素是非零的，这种形式的矩阵称莱斯利矩阵。

莱斯利矩阵的第一行为每一龄级的生育率，从下一行开始的对角线上为从x龄（所在列的第一行对应的龄级）存活到x+1龄的概率（例如从1龄开始就在该列的第x+1行写上n_x+1/n_x），其他位置为0

多样性指数

α多样性指数

丰富度指数

Gleason指数

D=S/lnA

S为物种总数，A为调查面积

Margalef指数

F=(S-1)/lnN

S为物种总数，N为个体数

综合性指数

Simpson指数

D=1-ΣP_i²

Pi为种i的个体数占群落总个体数的比例

Shannon-Weiner指数

H=-ΣP_ilnP_i

均匀度指数

Pielou指数

E=H/Hmax

H为实际观察到的S-W多样性，Hmax为理论上最大的物种多样性=lnS

关于H_max=lnS的推导（来自本人一权威的数竞同学）：

由于f(x)=xlnx为下凸函数，琴生不等式适用

琴生不等式

故 (ΣP_ilnP_i)/S ≥ (ΣP_i/S) ln(ΣP_i/S)

= (1/S) ln(1/S)

即H = -ΣP_ilnP_i ≤ -ln(1/S) = lnS

故H_max=lnS，当且仅当P₁=P₂=P₃=…=P_S时等号成立

（其实通过生物学意义可以直接得出P_i全部相等时多样性更高😋）