生理学所需的基础物理化学

本篇仿照十分钟读完基础物理化学，介绍生理等学科中的物理，数学，化学基础内容（虽然大多数佬都会了

数学

坐标变换

二维情形

极坐标系

极坐标是一种用“距离”和“角度”来确定平面上点位置的二维坐标系统，它的视角与笛卡尔坐标系完全不同。

想象你站在一个广场的中心，要告诉朋友你的位置。你可能会说：“我从中心点出发，往东北方向走了100米。” 这种“方向+距离”的描述方式，就是极坐标的核心思想。

一个完整的极坐标系由以下几个要素构成：

• 极点 (Pole): 相当于直角坐标系的原点，是所有距离测量的起点，通常记为 O。
• 极轴 (Polar Axis): 从极点出发的一条射线，通常水平向右，作为测量角度的基准（0度方向）。
• 极径 (Radial Coordinate): 表示平面上某点到极点的距离，通常用r表示。
• 极角 (Angular Coordinate): 表示从极轴逆时针旋转到该点与极点连线的角度，通常用θ表示。

因此，平面上任意一点 P 的位置都可以用一个有序数对 (r,θ)表示。

极坐标（r，θ ）和直角坐标 （x,y)可以相互转换。假设以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并采用相同的长度单位，它们之间的关系如下：

• 从极坐标转换为直角坐标：
  • $x=r\cos (\theta )$
  • $y=r\sin (\theta )$
• 从直角坐标转换为极坐标：
  • $r=\sqrt{x^2+y^2}$
  • $\theta =\arctan (\frac{y}{x})$ (需要根据点所在的象限来确定最终角度)

极坐标可以用来方便地化简一些双重积分，比如：

$\underset{D}{\iint }(9-x^2-y^2)dxdy$其中D是被积函数与Oxy平面围成的区域。

本积分转换到极坐标：

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{3}{\int }}(9-r^2)rdrd\theta$

其中后面多乘的r是雅克比行列式J在极坐标下计算的结果。最后可得结果为135π/2.

同时，对于后文将要提到的环路积分，极坐标系也是一个不错的化简方法。

三维情景

球极坐标

球极坐标系，通常简称为球坐标系，是一种用于确定三维空间中点位置的坐标系统。它通过一个距离和两个角度来定义一个点，可以看作是二维极坐标系在三维空间中的扩展。 球坐标系使用三个参数来描述空间中任意一点 P 的位置：

1. 径向距离 (r) 点 P 到坐标原点 O 的距离。
2. 方位角 (θ) 点 P 在 Oxy 平面上的投影与 x 轴正方向之间的夹角。
3. 极角 (φ) 点 P 与原点 O 的连线同 z 轴正方向之间的夹角

球坐标系与笛卡尔坐标系的互换：

$x=r\cos (\theta )\sin (\phi )$

$y=r\sin (\theta )\sin (\phi )$

$z=r\cos (\phi )$

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta =\arctan (\frac{y}{x})$

$\phi =\arccos (\frac{z}{r})$

柱坐标系

柱坐标系（Cylindrical Coordinate System），也叫圆柱坐标系，是一种用于描述三维空间的坐标系统。你可以把它理解为二维极坐标系在三维空间中的延伸，它用一个距离、一个角度和一个高度来定义点的位置，特别适合描述具有圆柱对称性的问题。

柱坐标系使用三个参数来确定空间中任意一点 P 的位置：

1. 径向距离 (r ) 点 P 在 Oxy 平面上的投影到坐标原点的距离。它描述了该点离中心轴（z轴）有多远。
2. 方位角 (θ ) 从 x 轴正方向逆时针旋转到点 P 在 xy 平面上的投影连线所经过的角度。
3. 高度 (z) 点 P 的垂直高度，与直角坐标系中的 z 轴完全相同。

简单来说，柱坐标(r,θ,z) 就是先在一个平面上用极坐标 (r,θ)定位，然后再指定一个高度 z。

与笛卡尔坐标系的互换也与极坐标相同，只不过多了一个z=z。

曲线积分

第一型曲线积分

例：考虑一曲线形构件，在平面内占一曲线L。设其密度分布函数为$\rho (x,y)$且在L上连续,问其质量。

解：对于一小段弧微元ds,其质量为$dm=\rho (x,y)ds$,其总质量$m=\underset{L}{\int }dm=\underset{L}{\int }\rho (x,y)ds$,此时L称为积分路径，m称为密度分布函数关于积分路径L的曲线积分。

定义：设L为Oxy平面上的一简单光滑曲线，f(x,y)在L上有界，在L上插入点列$M_1,M_2,\cdots ,M_n$将L分成n个小弧段$\Delta L_i,|\Delta L_i|=ds$又M_i(x,y)为L上任意一点，作积$f_i(x,y)ds$,并求和$\sum f_i(x,y)ds$,设$\lambda =\max (ds)$,若$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum f_i(x,y)ds$存在，且其极限值与L的分法及Mi的选取无关，则称此极限值为f(x,y)在L上的第一型曲线积分。记作$\underset{L}{\int }f(x,y)ds$。