生理学计算汇总

虽然25联赛一题未考，但整理一下总归不是坏事

（生理还是要用goldman）

希望osm.bio能支持mhchem包的解析，这么多的\ce{}我可不想换成\mathrm{}，毕竟后者不会自动把数字作为下标

综述

植物生理学和动物生理学是研究生命活动调节与稳态的科学，因此不可避免地会使用物理学、物理化学等方面的工具。此条目聚焦于CHSBO与CNBO的考试范围，给出常见生理学计算题所需使用的数学公式

植物生理学

离子跨膜

杜南平衡

引入

一半透膜将容器分隔为等体积的甲、乙两室。甲室盛有1L与蛋白质结合的

$\mathrm{C}\mathrm{a}{\phantom{A}}^{2+}$

溶液，

$\mathrm{C}\mathrm{a}{\phantom{A}}^{2+}$

浓度为0.15mol/L；乙室盛有1L

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{l}{\phantom{A}}_2$

溶液，浓度为0.06mol/L。达到杜南平衡时，甲室中

$\mathrm{C}\mathrm{a}{\phantom{A}}^{2+}$

的浓度为：

A.0.15mol/L
B.0.06mol/L
C.0.024mol/L
D.0.176mol/L

解 此题需要在微粒数、水量和电中性约束下满足两个平衡：杜南平衡和水势平衡。

化学势与杜南平衡

示例 甲乙两室被半透膜隔离，允许小分子量物质通过，阻挡蛋白质等大分子物质。

现以 $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{l}{\phantom{A}}_2$ 为例进行计算。

对于$\mathrm{C}\mathrm{l}{\phantom{A}}^{-}$ $${\mu }_{C{l}^{-}\text{甲}}={\mu }^{\circ }+RT\ln ([{C{l}^{-}}_{\text{甲}}])-F{\phi }_{\text{甲侧}}$$ $${\mu }_{C{l}^{-}\text{乙}}={\mu }^{\circ }+RT\ln ([{C{l}^{-}}_{\text{乙}}])-F{\phi }_{\text{乙侧}}$$ 当 $\mathrm{C}\mathrm{l}{\phantom{A}}^{-}$ 扩散平衡时，两侧电化学势相等 $$RT\ln \left(\frac{[{C{l}^{-}}_{\text{甲}}]}{[{C{l}^{-}}_{\text{乙}}]}\right)+F({\phi }_{\text{乙侧}}-{\phi }_{\text{甲侧}})=0$$ 记 $\Delta \phi \equiv {\phi }_{\text{甲侧}}-{\phi }_{\text{乙侧}}$ 则上式变为 $$RT\ln \left(\frac{[{C{l}^{-}}_{\text{甲}}]}{[{C{l}^{-}}_{\text{乙}}]}\right)-F\Delta \phi =0$$ 同理，对于 $\mathrm{C}\mathrm{a}{\phantom{A}}^{2+}$ 应用相同条件，得 $$RT\ln \left(\frac{[{C{a}^{2+}}_{\text{甲}}]}{[{C{a}^{2+}}_{\text{乙}}]}\right)+2F\Delta \phi =0$$

注意离子电荷数

利用两式联立消除 $\Delta \phi$ 得 $$\ln \left(\frac{[{C{a}^{2+}}_{\text{甲}}]}{[{C{a}^{2+}}_{\text{乙}}]}\right)=-2\ln \left(\frac{[{C{l}^{-}}_{\text{甲}}]}{[{C{l}^{-}}_{\text{乙}}]}\right)$$ 同时作为 $e$ 的指数 $$\frac{[{C{a}^{2+}}_{\text{甲}}]}{[{C{a}^{2+}}_{\text{乙}}]}=\frac{[{C{l}^{-}}_{\text{甲}}{]}^{-2}}{[{C{l}^{-}}_{\text{乙}}{]}^{-2}}$$ 即得杜南平衡条件

一般形式

$$\text{Const}=\frac{[A_{\text{甲}}^z{]}^{\frac{1}{z}}}{[A_{\text{乙}}^z{]}^{\frac{1}{z}}}$$

电中性条件

多数情况下，应用杜南平衡条件可得 $\Delta \phi \ne 0$ 。但必须注意的是，两侧的溶液一定近似处于电中性状态。这一方面是因为实际上对电场建立有贡献的电荷都处于紧挨着膜的约 $1\mathrm{n}\mathrm{m}$ 厚的薄层里，膜两侧的静正负电荷互相吸引，从而维持尽可能低的偶极矩；另一方面是因为膜两侧产生的电场在外侧近似抵消，使得 得 $\Delta \phi$ 被严格限制在膜附近极小的范围内。 倘若膜两侧溶液远离膜的部分不成近似电中性，将会产生很大的偶极矩 $p$ 。如前所述，这是不可能存在的。尽管存在更为精确的理论，（如古伊-查普曼模型，Gouy-Chapman Theory），对经典吉布斯-杜南关系用界面理论修正，一般的杜南平衡+电中性条件也足够精确求解生理条件下的平衡了。

动物生理学

呼吸循环生理

心脏 $p-V$ 图与搏出功

理想条件搏出功

与理想气体 $p-V$ 图不同，心脏搏出功是指在1个心动周期内心脏某腔对血液做的功，也即血液对外界做的负功。因此，对于环路积分：

$$W_{\text{blood→out}}=\oint p\mathrm{d}V$$

可得：

$$W_{\text{heart→blood}}=-W_{\text{blood→out}}=-\oint p\mathrm{d}V$$

必须注意此处对环路积分取了相反数。热学中，我们知道气体 $p-V$ 图的顺时针环路积分表示体系对外做功；而在搏出功计算时，我们计算的是体系（血液）从外界（心脏）取得了多少正功。因此逆时针环路积分表示体系对外做负功，也即心脏做正功。

误差分析

显然，我们利用 $-\oint p\mathrm{d}V$ 计算心脏搏出功，暗含了准静态假设：假设此腔内血液是处于准静态平衡的，即在腔收缩与舒张的每一瞬间，腔内各处的压强 $p$ 与腔体积 $V$ 均是一致、确定的，而射血过程无限缓慢。这意味着我们忽略了血液在心腔内由于加速度产生的压强梯度、血液运动产生的动压和粘滞耗散。

倘若我们能测量心腔-血液交界处每一位置的外压总压 $p(\overrightarrow{s})$ ，准静态假设就毫无必要。使用 $$-\underset{0}{\overset{t_{\text{周期}}}{\int }}\underset{A}{\iint }p(\overrightarrow{s},t)v_{\perp }(\overrightarrow{s},t)\mathrm{d}A\mathrm{d}t$$ 其中：
$p(\overrightarrow{s},t)$ 是心脏壁受压强关于位置 $\overrightarrow{s}$ 和时间 $t$ 的函数
$v_{\perp }$是血液垂直当地界面的速度分量，$v_{\perp }<0$ 表示向血液侧运动

即可精确计算心脏搏出功。可惜这根本无法实现。

弹性阻力

顺应性

顺应性是肺容积变化 $\mathrm{d}V$ 与压强变化 $\mathrm{d}p$ 的比值。

$$C_{\text{顺应性}}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}P}$$

比顺应性

顺应性没有考虑到肺自然状态下的容积差异，使用比顺应性能更客观描述肺的弹性阻力。比顺应性要将顺应性除以静息状态吸气开始的肺容积（功能余气量）

$$C_{\text{比顺应性}}=\frac{\mathrm{d}V}{V_{\text{功能余气}}\mathrm{d}P}$$

万金油型

请此段原作者及时补充内容或将其删除 --Raspierry（留言） 2026年3月13日 (五) 09:45 (CST)

一、顺应性

二、黄金代换：做功量

三、压力形成的推导

欧姆定律：

本质：（Flow流量；R阻力）

（S面积；v速度）

综上，